證明無窮乘積 (1 + x/n²) 由 n = 1 到無窮大對每個 x > 0 都收斂，並求 x 趨近無窮大時該乘積的對數除以 √x 的極限。

Step-by-step solution

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   把乘積化成級數。 所有因子都大於 $1$，所以這個乘積收斂的充要條件，就是 $\ln P(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\ln\!\left(1+\frac{x}{n^2}\right)$ 收斂。乘積本身很難直接估界；取對數之後就能動用比較審斂法。

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   與 $p$ 級數做比較。 對 $u\ge 0$，初等不等式 $\ln(1+u)\le u$ 給出 $0\le\ln\!\left(1+\frac{x}{n^2}\right)\le\frac{x}{n^2}.$ 由於 $\sum 1/n^2=\pi^2/6$ 收斂，比較審斂法迫使 $\ln P(x)$ 對每個固定的 $x>0$ 都收斂，因此乘積收斂。

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   認出它的封閉形式。 尤拉的雙曲正弦乘積公式 $\frac{\sinh(\pi z)}{\pi z}=\prod_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{z^2}{n^2}\right),$ 取 $z=\sqrt{x}$ 即可套用，於是 $P(x)=\frac{\sinh(\pi\sqrt{x})}{\pi\sqrt{x}}.$ 在 $x=2$ 處兩邊都等於 $9.56675$，在 $x=9$ 處兩邊都等於 $657.397$。

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   取對數，把成長率抽出來。 利用 $\sinh w=\tfrac12(e^{w}-e^{-w})$， $\ln P(x)=\pi\sqrt{x}-\ln 2-\ln\!\left(\pi\sqrt{x}\right)+\ln\!\left(1-e^{-2\pi\sqrt{x}}\right).$ 主導項是 $\pi\sqrt{x}$；其餘全都是 $O(\ln x)$。

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   除以 $\sqrt{x}$ 再取極限。 $\frac{\ln P(x)}{\sqrt{x}}=\pi-\frac{\ln 2+\ln(\pi\sqrt{x})}{\sqrt{x}}+o(1)\longrightarrow\pi.$ 等價地說，這個和是 $\int_0^{\infty}\ln(1+t^{-2})\,dt=\pi$ 以 $1/\sqrt{x}$ 為網格寬度的黎曼和。在 $x=10^{6}$ 處直接求和得到 $3.13285$，正如 $\ln x/\sqrt{x}$ 這個修正項所預測的，它緩慢地朝 $\pi$ 收斂。