計算三重積分 4x + 5y − 19z，其中 z 由 7 到 1、y 由 4 到 2、x 由 3 到 2。

Step-by-step solution

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   注意每一層的上下限都是顛倒的。 每個積分都是從較大的值積到較小的值。由於 $\int_{a}^{b}=-\int_{b}^{a}$，這裡有三次變號，而 $(-1)^{3}=-1$：整個答案就是「把所有上下限改成遞增」之後那個積分的相反數。你可以一開始就全部翻過來，也可以像下面這樣就地小心地算。

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   先對 $z$ 積分，把 $x$ 與 $y$ 當成常數。 在 $z$ 方向的一個反導函數是 $4xz+5yz-\tfrac{19}{2}z^{2}$，所以

   $\int_{7}^{1}\left(4x+5y-19z\right)dz=\left(4x+5y-\tfrac{19}{2}\right)-\left(28x+35y-\tfrac{931}{2}\right)=-24x-30y+456$

   順序很重要：最內層的微分 $dz$ 要最先積，用的是最內層那一對上下限。

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   再把結果對 $y$ 積分。 取反導函數 $(-24x+456)y-15y^{2}$：

   $\int_{4}^{2}\left(-24x-30y+456\right)dy=\left(-48x+852\right)-\left(-96x+1584\right)=48x-732$

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   最後對 $x$ 積分。 取反導函數 $24x^{2}-732x$：

   $\int_{3}^{2}\left(48x-732\right)dx=\left(96-1464\right)-\left(216-2196\right)=-1368+1980=612$

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   解讀正負號。 被積函數由 $-19z$ 主導，而在這個區域裡 $z$ 一路到 7，所以「上下限遞增」的那個積分是很負的；三次顛倒把它翻成正的。舉例來說，若只把 $z$ 的上下限顛倒回來，得到的會是 $-612$。

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   用數值黎曼和檢查。 取 $120^{3}$ 個中點、步長帶號寫成 $dz=-6/120$、$dy=-2/120$、$dx=-1/120$，算出來恰好是 $612.0$ ✓。會完全吻合是因為被積函數是線性的，中點法則對線性函數本來就精確。