計算 x² · e^(−x) 從 x = 0 到 x = 1 的定積分。

Step-by-step solution

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   挑選分部積分的分法，讓多項式的次數往下掉。 被積函數是多項式乘上指數，正是分部積分的經典場景。取 $u = x^2$（微分之後會朝零下降）與 $dv = e^{-x}dx$（積分之後不會變大），於是 $du = 2x\,dx$、$v = -e^{-x}$。

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   先做第一次分部積分。

   $\int x^2 e^{-x}dx = -x^2 e^{-x} + \int 2x e^{-x}dx$

   剩下的積分次數從 $2$ 降到 $1$——離初等結果又近了一步。

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   再做第二次。 取 $u = 2x$、$dv = e^{-x}dx$：

   $\int 2x e^{-x}dx = -2x e^{-x} + \int 2e^{-x}dx = -2x e^{-x} - 2e^{-x}$

   合併起來，反導函數就是

   $\int x^2 e^{-x}dx = -\left(x^2 + 2x + 2\right)e^{-x} + C$

4. 4

   代入上下限。 在 $x = 1$：$-(1 + 2 + 2)e^{-1} = -5e^{-1}$。在 $x = 0$：$-(0 + 0 + 2)e^{0} = -2$。相減得到

   $\int_0^1 x^2 e^{-x}dx = -\frac{5}{e} - (-2) = 2 - \frac{5}{e}$

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   確認這個值合理。 取 $e \approx 2.718282$，則 $\tfrac{5}{e} \approx 1.839397$，所以積分 $\approx 0.160603$。在 $[0,1]$ 上做複合辛普森近似得到 $0.1606028$，吻合到小數七位。這個值也穩穩地小於粗略上界 $\int_0^1 x^2 dx = \tfrac13$，而這是必然的，因為在這個區間上 $e^{-x} < 1$。