判斷下列敘述是否成立：若分組後的級數 (a_{3n−2} + a_{3n−1} + a_{3n}) 收斂，且 aₙ 趨近 0，則級數 Σaₙ 收斂。請證明它，或舉出反例。

Step-by-step solution

1. 1

   把兩個假設都翻譯成關於部分和的敘述。 令 $S_N=\sum_{k=1}^{N}a_k$。三項一組地分組並沒有重排或漏掉任何一項，所以分組級數的第 $n$ 個部分和恰好是

   $\left(a_1+a_2+a_3\right)+\cdots+\left(a_{3n-2}+a_{3n-1}+a_{3n}\right)=S_{3n}$

   因此第一個假設說的正是：子數列 $S_{3n}$ 收斂到某個極限 $S$。

2. 2

   認清還缺了什麼。 子數列收斂本身並不足以讓整個數列收斂——還必須證明其餘的部分和 $S_{3n+1}$ 與 $S_{3n+2}$ 也趨向同一個極限。這正是第二個假設的用途。

3. 3

   處理中間那兩個部分和。

   $S_{3n+1}=S_{3n}+a_{3n+1},\qquad S_{3n+2}=S_{3n}+a_{3n+1}+a_{3n+2}$

   由於 $a_k\to 0$，因此 $a_{3n+1}\to 0$ 與 $a_{3n+2}\to 0$ 都成立，於是

   $S_{3n+1}\to S+0=S,\qquad S_{3n+2}\to S+0+0=S$

4. 4

   把三個子數列合起來。 每個指標 $N$ 都是 $3n$、$3n+1$ 或 $3n+2$ 的形式，而 $\{S_N\}$ 的這三個子數列全都趨向同一個極限 $S$。若一個數列的每個指標都落入有限多個子數列、而這些子數列全都收斂到 $S$，那麼這個數列本身也收斂到 $S$：

   $\lim_{N\to\infty}S_N=S\quad\Longrightarrow\quad \sum_{n=1}^{\infty}a_n=S$

   $\boxed{\text{此敘述成立}}$

5. 5

   說明為什麼第二個假設不能拿掉。 少了 $a_n\to 0$，這個結論就不成立：取 $a_n=1,-1,0,1,-1,0,\ldots$ ——每三項一組的和都是 $0$，所以分組級數收斂，但部分和 $S_N$ 卻在 $1,0,0,1,0,0,\ldots$ 之間循環，永遠安定不下來。這裡 $a_n\not\to 0$，而那正是這個假設所堵住的漏洞。

6. 6

   當心一個常被發表的「反例」。 有些解答拿 $a_n=\tfrac{(-1)^n}{n}$ 當作反例，但由交錯級數判別法可知 $\sum\tfrac{(-1)^n}{n}$ 其實是收斂的（收斂到 $-\ln 2$），所以它什麼也沒推翻。真正的反例必須違反那兩個假設之一——而由上面的證明可知，這樣的反例並不存在。