一輛汽車在時刻 t 的加速度為 a(t) = t² − 2t + 3 公尺每秒平方。若它在 t = 1 時的速度為 8 公尺每秒，求 t = 3 時的速度。

Step-by-step solution

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   運用加速度與速度的關係。 加速度是速度的導數，$a(t)=v'(t)$，因此由微積分基本定理，一段區間上速度的變化量就是 $a$ 的定積分：

   $v(3)-v(1)=\int_1^3 a(t)\,dt$

   直接處理變化量（而不是先求出帶未知常數的 $v$），可以讓初始條件在最後乾淨地用上。

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   對多項式逐項求反導函數。

   $\int\left(t^2-2t+3\right)dt=\frac{t^3}{3}-t^2+3t$

   這裡不必加常數，因為這個反導函數接下來要代入上下限相減。

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   代入上限 $t=3$。

   $\frac{27}{3}-9+9=9$

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   代入下限 $t=1$。

   $\frac{1}{3}-1+3=\frac{1}{3}+2=\frac{7}{3}$

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   相減得到速度的變化量。

   $\int_1^3 a(t)\,dt=9-\frac{7}{3}=\frac{27-7}{3}=\frac{20}{3}\ \text{m/s}$

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   加上初速度。

   $v(3)=v(1)+\frac{20}{3}=8+\frac{20}{3}=\frac{24+20}{3}=\frac{44}{3}\approx 14.67\ \text{m/s}$

   快速檢驗合理性：$a(t)$ 在 $[1,3]$ 上介於 $2$ 與 $6$ 之間，所以速度的增量必然落在 $4$ 到 $12$ 公尺每秒之間 —— 而 $\tfrac{20}{3}\approx 6.67$ 確實在其中。