計算 1/(x + √(x² − 1))² 對 x 從 1 到無窮大的瑕積分，並說明為什麼下限不能取 0。

Step-by-step solution

1. 1

   積分之前先把定義域定下來。 當 $0\le x<1$ 時根號內的 $x^2-1$ 是負的，所以 $\sqrt{x^2-1}$ 不是實數，被積函數在那裡沒有定義。能讓它成為真正實積分的最大區間是從 $x=1$ 開始——把下限寫成 $0$ 是題目敘述的錯誤，而不是收斂與否的問題。

2. 2

   選一個能把根號線性化的代換。 對 $x\ge 1$ 令

   $x=\cosh t,\qquad t\ge 0$

   則 $\sqrt{x^2-1}=\sqrt{\cosh^2t-1}=\sinh t$（在 $t\ge0$ 時為非負），而 $dx=\sinh t\,dt$。

3. 3

   把括號化簡——這正是選 cosh 的理由。

   $x+\sqrt{x^2-1}=\cosh t+\sinh t=e^{t}$

   所以括號的平方就只是 $e^{2t}$。上下限的對應是 $x=1\Rightarrow t=0$ 與 $x\to\infty\Rightarrow t\to\infty$。

4. 4

   重寫這個積分。

   $\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)^{2}}=\int_{0}^{\infty}\frac{\sinh t}{e^{2t}}\,dt=\int_0^\infty e^{-2t}\sinh t\,dt$

5. 5

   把雙曲正弦展開成指數函數。 由 $\sinh t=\tfrac{e^t-e^{-t}}{2}$，

   $e^{-2t}\sinh t=\frac{e^{-t}-e^{-3t}}{2}$

   這是兩個衰減指數函數的差——兩者在 $[0,\infty)$ 上都可積。

6. 6

   積分求值。 由於 $\int_0^\infty e^{-kt}dt=\tfrac1k$，

   $\frac12\left(\int_0^\infty e^{-t}dt-\int_0^\infty e^{-3t}dt\right)=\frac12\left(1-\frac13\right)=\frac12\cdot\frac23=\frac13$

   對 $\int_0^{40}e^{-2t}\sinh t\,dt$ 做數值積分得到 $0.3333333333$，確認了精確值 $\tfrac13$。