求當 x 趨於無窮大時 (1 − cos 2x)/(2x) 的極限。

Step-by-step solution

1. 1

   先注意分子根本不會穩定下來。 當 $x\to\infty$ 時，$\cos 2x$ 會一直在 $-1$ 與 $1$ 之間來回振盪，所以 $1-\cos 2x$ 沒有極限。這就排除了把分式拆開或者用羅必達法則的做法——但這並不妨礙整個商收斂，因為分子始終是有界的。

2. 2

   先把分子夾起來。 由 $-1\le\cos 2x\le 1$ 得 $0\le 1-\cos 2x\le 2$ 對每個實數 $x$ 都成立。這就是關鍵的不等式：有界的分子，配上一個無限增大的分母。

3. 3

   兩邊同時除以正的分母。 當 $x>0$ 時 $2x>0$，相除不會改變不等號的方向：$0\le\frac{1-\cos 2x}{2x}\le\frac{2}{2x}=\frac{1}{x}.$

4. 4

   用夾擠定理。 兩側的界限趨向同一個地方：$\lim_{x\to\infty}0=0$，$\lim_{x\to\infty}\tfrac1x=0$。被兩個極限相同的量夾住的函數，必然也取同一個極限，於是 $\lim_{x\to\infty}\frac{1-\cos 2x}{2x}=0.$

5. 5

   取幾個點驗證一下。 在 $x=1000$ 處分子最大也不過 $2$，所以這個商至多是 $2/2000=0.001$；到 $x=10^6$ 時至多是 $10^{-6}$。上界本身垮向 $0$，這就把答案鎖死了。