雙對數函數 Li₂(x) 在 x = 1 處可微分嗎？請說明理由。

Step-by-step solution

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   先確認函數在 $x=1$ 處到底有沒有定義。 這個級數的收斂半徑是 $1$，而在端點 $x=1$ 處它退化成 $p=2$ 的收斂 $p$ 級數：

   $\operatorname{Li}_{2}(1)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}=\frac{\pi^{2}}{6}\approx1.644934.$

   所以函數在那裡有定義，而且由阿貝爾定理它還是左連續的。可微分則是比連續嚴格更強的要求。

2. 2

   在收斂圓內部對級數逐項求導。 當 $|x|<1$ 時逐項求導是合法的：

   $\operatorname{Li}_{2}'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n\,x^{n-1}}{n^{2}}=\frac{1}{x}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{n}.$

   裡面那個和正是墨卡托級數 $-\ln(1-x)$，於是

   $\operatorname{Li}_{2}'(x)=-\frac{\ln(1-x)}{x},\qquad |x|<1.$

   在 $x=0.99$ 處做數值檢驗：對級數取中央差商得 $4.651687$，而 $-\frac{\ln(0.01)}{0.99}=4.651687$ ✓。

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   考察 $x\to1^{-}$ 時導數的走勢。 當 $x$ 從下方趨近 $1$ 時，$1-x\to0^{+}$，於是 $\ln(1-x)\to-\infty$，因此

   $-\frac{\ln(1-x)}{x}\longrightarrow+\infty.$

   斜率無界地增長：$x=0.9$ 時是 $2.56$，$x=0.99$ 時是 $4.65$，$x=0.999$ 時是 $6.91$——按 $\ln\frac{1}{1-x}$ 的速度上升，慢，但沒有上界。

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   回到導數的定義下結論。 既然 $\operatorname{Li}_{2}$ 在 $(0,1)$ 上可微分且導數趨於 $+\infty$，由均值定理，差商 $\frac{\operatorname{Li}_{2}(1)-\operatorname{Li}_{2}(x)}{1-x}$ 也必然發散。所以左導數是 $+\infty$，有限的導數並不存在：

   $\operatorname{Li}_{2}\text{ 連續但不可微分於 }x=1.$

   從幾何上看，圖形在那裡有一條鉛直切線。

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   再從局部展開看一眼。 蘭登恆等式 $\operatorname{Li}_{2}(x)+\operatorname{Li}_{2}(1-x)=\frac{\pi^{2}}{6}-\ln x\ln(1-x)$ 給出，令 $y=1-x\to0^{+}$，

   $\operatorname{Li}_{2}(x)=\frac{\pi^{2}}{6}+(1-x)\ln(1-x)-(1-x)+O\!\left((1-x)^{2}\right).$

   在 $y=0.001$ 處做數值比較：展開式給出 $1.63702631$，真值是 $1.63702261$ ✓。真正壞事的是 $y\ln y$ 這一項——它的導數 $\ln y+1$ 會爆掉，這從第二個角度確認了不可微分。