求級數 n/(n+1)! 從 n = 1 到無窮大的和。

Step-by-step solution

1. 1

   把分子拆開，讓它跟下面的階乘對上。 麻煩在於 $n$ 和 $(n+1)!$ 步調不一致。寫成 $n = (n+1) - 1$ 就解決了：

   $\frac{n}{(n+1)!} = \frac{(n+1) - 1}{(n+1)!} = \frac{n+1}{(n+1)!} - \frac{1}{(n+1)!}$

2. 2

   化簡第一塊。 因為 $(n+1)! = (n+1)\cdot n!$，那個 $(n+1)$ 可以約掉：

   $\frac{n+1}{(n+1)!} = \frac{1}{n!}$

   於是一般項變成兩個相鄰階乘倒數的差：

   $\frac{n}{(n+1)!} = \frac{1}{n!} - \frac{1}{(n+1)!}$

3. 3

   寫出部分和，看中間如何相消。 令 $a_n = \tfrac{1}{n!}$，一般項就是 $a_n - a_{n+1}$，所以

   $S_N = \sum_{n=1}^{N}\left(\frac{1}{n!} - \frac{1}{(n+1)!}\right) = \frac{1}{1!} - \frac{1}{(N+1)!}$

   每一個中間項都以一正一負各出現一次。這就是為什麼這個級數不只是收斂，而是會伸縮相消。

4. 4

   取極限。 階乘的成長比任何冪次都快，所以 $\frac{1}{(N+1)!} \to 0$，因而

   $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{(n+1)!} = \lim_{N\to\infty} S_N = 1$

5. 5

   做數值合理性檢查。 前五項是 $\tfrac12 + \tfrac{2}{6} + \tfrac{3}{24} + \tfrac{4}{120} + \tfrac{5}{720} = 0.5 + 0.333333 + 0.125 + 0.033333 + 0.006944 = 0.998611$，而 $1 - \tfrac{1}{6!} = 1 - 0.001389 = 0.998611$，剛好相等，與 $S_5$ 的封閉式相符。