計算 (sin 3x − cos 2x)/(2x − π)² 在 x 趨近 π/2 時的極限。

Step-by-step solution

1. 1

   檢查形式。 在 $x=\frac{\pi}{2}$ 時：$\sin\frac{3\pi}{2}=-1$ 而 $\cos\pi=-1$，所以分子是 $-1-(-1)=0$，分母也是 $0$——形式是 $\frac{0}{0}$。

2. 2

   平移變數。 令 $x=\frac{\pi}{2}+t$，其中 $t\to 0$。分母變成 $(2t)^2=4t^2$，所以分子必須消失到二階，極限才會是有限的。

3. 3

   改寫分子。 $\sin\left(\frac{3\pi}{2}+3t\right)=-\cos 3t$ 且 $\cos(\pi+2t)=-\cos 2t$，所以分子變成 $-\cos 3t+\cos 2t=\cos 2t-\cos 3t$。

4. 4

   把兩個餘弦都展開到二階。 $\cos 2t\approx 1-2t^2$ 且 $\cos 3t\approx 1-\frac{9}{2}t^2$，所以 $\cos 2t-\cos 3t\approx\frac{9}{2}t^2-2t^2=\frac{5}{2}t^2$。常數項互相抵消，正如 $\frac{0}{0}$ 形式所要求的。

5. 5

   組成比值。 $\frac{\frac{5}{2}t^2}{4t^2}=\frac{5}{8}$，與 $t$ 無關，所以極限是 $\frac{5}{8}$。

6. 6

   數值檢查。 在 $x=\frac{\pi}{2}+10^{-4}$ 時原式算出 $0.6249999932$，與 $\frac{5}{8}=0.625$ 相符。