求 1/(a − bx) 對 x 的不定積分，其中 a 與 b 都是常數且 b 不為零。

Step-by-step solution

1. 1

   選定代換。 分母是一次式，所以直接讓整個分母當新變數：

   $u=a-bx$

   這是處理任何 $\int\frac{dx}{\text{一次式}}$ 的標準動作——別去搬部分分式，也別憑記憶套 $\ln$ 的公式。

2. 2

   把代換式微分，解出 dx。

   $du=-b\,dx\qquad\Longrightarrow\qquad dx=-\frac{1}{b}\,du$

   負號來自 $-bx$；把它弄丟是這個積分最常見的錯誤。

3. 3

   把積分改寫成 u 的形式。

   $\int\frac{1}{a-bx}\,dx=\int\frac{1}{u}\left(-\frac{1}{b}\right)du=-\frac{1}{b}\int\frac{du}{u}$

   常數 $-\tfrac1b$ 可以直接提到積分號外。

4. 4

   積分並代回原變數。 因為 $\int\frac{du}{u}=\ln|u|+C$：

   $-\frac{1}{b}\ln|u|+C=-\frac{1}{b}\ln|a-bx|+C$

   絕對值是必要的：$a-bx$ 在 $x=\tfrac{a}{b}$ 處變號，被積函數在那裡有鉛直漸近線，而這個原函數只在漸近線的各一側分別有效。

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   記住這個通用型態。 對任何一次的內層函數，

   $\int\frac{dx}{px+q}=\frac{1}{p}\ln|px+q|+C$

   這裡 $p=-b$，直接就重現了那個 $-\tfrac1b$。提到前面的係數，永遠是內層斜率的倒數。

6. 6

   微分回去驗證。 由連鎖律，$\frac{d}{dx}\left[-\frac1b\ln|a-bx|\right]=-\frac1b\cdot\frac{-b}{a-bx}=\frac{1}{a-bx}$ ✓。數值上取 $a=3.7$、$b=1.9$，在 $x=0.4,\,-2.0,\,3.0$ 處的對稱差商與被積函數吻合到五位數字 ✓，其中漸近線 $x=1.947$ 的兩側各取了一點。