設 f 與 g 具有任意階導數。證明 F = fg 的 n 階導數滿足 F^(n) = j 從 0 到 n 的 C(n,j) f^(n-j) g^(j) 之和。

Step-by-step solution

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   架設歸納法。 這個命題是關於每一個自然數 $n$ 的敘述，所以先證 $n=1$ 的情形，再證明它在 $n$ 成立就會逼出在 $n+1$ 也成立。它在結構上與二項式定理相似，正是巴斯卡法則會派上用場的線索。

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   基底情形 n = 1。 右邊讀作

   $\binom10 f'g+\binom11 fg'=f'g+fg'$

   這恰好就是普通的乘積法則，所以公式在 $n=1$ 時成立。

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   假設公式在 n 成立，再微分一次。 對歸納假設的每一項套用乘積法則：

   $F^{(n+1)}=\sum_{j=0}^{n}\binom{n}{j}\left[f^{(n-j+1)}g^{(j)}+f^{(n-j)}g^{(j+1)}\right]$

   它會裂成兩個和式，一個是 $f$ 多拿到那次微分，另一個則是 $g$ 拿到。

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   把第二個和式重新編號，讓兩者對齊。 在第二個和式中代入 $k=j+1$，它就變成 $\sum_{k=1}^{n+1}\binom{n}{k-1}f^{(n+1-k)}g^{(k)}$。把 $k$ 改回 $j$ 之後，兩個和式現在都帶有相同的因子 $f^{(n+1-j)}g^{(j)}$：

   $F^{(n+1)}=\sum_{j=0}^{n}\binom{n}{j}f^{(n+1-j)}g^{(j)}+\sum_{j=1}^{n+1}\binom{n}{j-1}f^{(n+1-j)}g^{(j)}$

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   用巴斯卡法則合併。 對 $1\le j\le n$，$f^{(n+1-j)}g^{(j)}$ 的係數是

   $\binom{n}{j}+\binom{n}{j-1}=\binom{n+1}{j}$

   兩端的項也吻合：在 $j=0$ 處係數是 $\binom{n}{0}=1=\binom{n+1}{0}$，在 $j=n+1$ 處則是 $\binom{n}{n}=1=\binom{n+1}{n+1}$。

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   完成歸納。

   $F^{(n+1)}=\sum_{j=0}^{n+1}\binom{n+1}{j}f^{(n+1-j)}g^{(j)}$

   這就是把 $n$ 換成 $n+1$ 之後的公式。由歸納法，它對每一個自然數 $n$ 都成立。

   $\boxed{F^{(n)}=\sum_{j=0}^{n}\binom{n}{j}f^{(n-j)}g^{(j)}}$

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   明確驗算 n = 2 的情形。 公式預測 $F''=f''g+2f'g'+fg''$。把 $F'=f'g+fg'$ 手動微分得到 $f''g+f'g'+f'g'+fg''=f''g+2f'g'+fg''$ ✓——係數 $1,2,1$ 正是巴斯卡三角形的第二列，恰如二項式的類比所暗示的。