對 f(x) = 2x² − 3x + 4，求差商 (f(x + h) − f(x))/h（h 不為 0）並化簡。

Step-by-step solution

1. 1

   把整個 x + h 代進去，組出 f(x + h)。 規則裡的每個 $x$ 都要換掉，括號也不能少：

   $f(x+h)=2(x+h)^{2}-3(x+h)+4.$

2. 2

   小心展開。 平方這一步最常漏掉中間項：$(x+h)^{2}=x^{2}+2xh+h^{2}$，所以

   $f(x+h)=2x^{2}+4xh+2h^{2}-3x-3h+4.$

3. 3

   減去 f(x)，看清楚哪些會消掉。 因為 $f(x)=2x^{2}-3x+4$，所有不含 $h$ 的項都會消失：

   $f(x+h)-f(x)=\left(2x^{2}-2x^{2}\right)+4xh+2h^{2}+\left(-3x+3x\right)-3h+\left(4-4\right)=4xh+2h^{2}-3h.$

   如果這裡還留下不含 $h$ 的東西，就是代數算錯了 —— 分子必定能被 $h$ 整除。

4. 4

   把 h 從分子提出來。

   $4xh+2h^{2}-3h=h\left(4x+2h-3\right).$

5. 5

   約掉 h。 這一步之所以合法，正是因為題目給了 $h\neq 0$：

   $\frac{h\left(4x+2h-3\right)}{h}=4x+2h-3.$

6. 6

   解讀結果。 令 $h\to 0$ 得到 $4x-3$，這恰好就是 $f'(x)$ —— 差商就是還沒取極限的導數。這也提供一個快速的檢查方式：把 $2x^2-3x+4$ 逐項微分，確認會得到 $4x-3$。