求 (ln(1 + 2x) − 2x)/x² 在 x 趨近 0 時的極限。

Step-by-step solution

1. 1

   檢查形式，並確認需要展開到幾階。 在 $x = 0$ 時分子是 $\ln 1 - 0 = 0$，分母是 $0$，所以這是 $0/0$。既然分母是 $x^2$，分子至少要展開到 $x^2$ 階——只做一階展開會得到 $0$，什麼都告訴不了你。

2. 2

   把 ln(1 + u) 展開到二階。 馬克勞林級數是

   $\ln(1 + u) = u - \frac{u^2}{2} + \frac{u^3}{3} - \cdots$

   代入 $u = 2x$：

   $\ln(1 + 2x) = 2x - \frac{(2x)^2}{2} + O(x^3) = 2x - 2x^2 + O(x^3)$

   注意 $(2x)^2 = 4x^2$，所以二次項的係數是 $-2$，不是 $-\tfrac12$。

3. 3

   減去 2x——一次項本來就是設計來抵消的。

   $\ln(1 + 2x) - 2x = -2x^2 + O(x^3)$

   這個抵消正是整道題的重點：那個 $-2x$ 擺在那裡，就是為了把對數的二次行為逼出來。

4. 4

   除以 x²。

   $\frac{\ln(1 + 2x) - 2x}{x^2} = \frac{-2x^2 + O(x^3)}{x^2} = -2 + O(x)$

   讓 $x \to 0$ 會殺掉 $O(x)$ 這個餘項，所以極限是 $-2$。

5. 5

   用羅必達法則做一次、再化簡來交叉驗證。 第一次套用：

   $\lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{1 + 2x} - 2}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{-4x}{2x(1 + 2x)}$

   它化簡成 $\lim_{x \to 0} \frac{-2}{1 + 2x} = -2$。數值上，在 $x = 10^{-4}$ 時商是 $-1.99973$，在 $x = -10^{-4}$ 時是 $-2.00027$，把 $-2$ 夾在中間。