解微分方程式 dy/dx - y^2 = 0。

Step-by-step solution

1. 1

   整理成標準的可分離形式。 把 $y^2$ 移到另一邊得到

   $\frac{dy}{dx}=y^2$

   右邊只依賴 $y$，所以方程式可以分離。另外也要注意常數解 $y=0$，它平凡地滿足方程式，必須另外處理。

2. 2

   分離變數。 假設 $y\neq0$，除以 $y^2$：

   $\frac{dy}{y^2}=dx,\qquad\text{也就是}\qquad y^{-2}\,dy=dx$

3. 3

   用冪函數法則把兩邊積分。 對 $n=-2$，$\int y^{n}dy=\frac{y^{n+1}}{n+1}$ 給出 $\frac{y^{-1}}{-1}=-y^{-1}$——$\ln$ 那個情形在這裡並不適用，因為指數不是 $-1$：

   $-\frac{1}{y}=x+C$

4. 4

   解出 y。 乘上 $-1$，再把常數重新命名（$-C$ 與 $C$ 一樣任意）：

   $\frac{1}{y}=-x-C=C'-x$

   取倒數，

   $y=\frac{1}{C-x}$

   這裡把 $C'$ 寫成 $C$。與線性的情形 $y'=y$ 不同，這裡 $C=0$ 並不會還原出 $y=0$；零解是在步驟 2 被弄丟的、真正獨立的奇異解。

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   注意有限範圍內就發散。 這個解在 $x=C$ 處有一條鉛直漸近線：當 $x\to C^-$ 時 $|y|\to\infty$。所以沒有任何非零解能存在於整條實數線上——這是二次成長的標誌，線性方程式從來不會出現這種現象。

6. 6

   用微分驗證。 對 $y=\frac{1}{C-x}=(C-x)^{-1}$，連鎖律給出 $y'=(C-x)^{-2}=y^2$ ✓。數值上取 $C=2$，在 $x=0,\,0.5,\,-1.3$ 處，對稱差商與 $y^2$ 吻合到五位數字 ✓。