求 f(x) = ln(√(x² + 1) + x) 在 x = 0 的泰勒級數，寫出前幾個非零項、一般項的公式，以及收斂區間。

Step-by-step solution

1. 1

   先認出這個函數，別急著微分。 組合 $\ln\!\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)$ 是反雙曲正弦的標準對數形式，

   $\operatorname{arsinh}x=\ln\!\left(x+\sqrt{x^2+1}\right),$

   所以 $f(x)=\operatorname{arsinh}x$。這一點很重要，因為直接從對數去算 $f^{(n)}(0)$ 非常殘酷，而 $\operatorname{arsinh}$ 的導數卻極其簡單。每當馬克勞林展開看起來很難搞時，先檢查導數是不是那個好對付的對象。

2. 2

   微分一次，看對數如何塌縮。 由連鎖律，

   $f'(x)=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}+x}\left(\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}+1\right)=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}+x}\cdot\frac{x+\sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2+1}}.$

   括號裡的 $x+\sqrt{x^2+1}$ 剛好與分母完全相消，留下

   $f'(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}=(1+x^2)^{-1/2}.$

   這個相消正是整題之所以簡單的原因。

3. 3

   用二項級數展開導數。 當 $|t|<1$ 時，

   $(1+t)^{\alpha}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{\alpha}{n}t^{n}.$

   取 $t=x^{2}$ 與 $\alpha=-\tfrac12$：

   $(1+x^2)^{-1/2}=1-\frac12x^2+\frac38x^4-\frac{5}{16}x^6+\frac{35}{128}x^8-\cdots$

   只出現偶次方，這已經預告了 $f$ 只會有奇次方——與 $f$ 是奇函數一致。

4. 4

   利用 $f(0)=0$ 逐項積分。 因為 $f(0)=\ln 1=0$，所以 $f(x)=\int_0^x f'(t)\,dt$，而冪級數在收斂半徑之內可以逐項積分：

   $f(x)=x-\frac12\cdot\frac{x^3}{3}+\frac38\cdot\frac{x^5}{5}-\frac{5}{16}\cdot\frac{x^7}{7}+\frac{35}{128}\cdot\frac{x^9}{9}-\cdots$

   $f(x)=x-\frac{x^{3}}{6}+\frac{3x^{5}}{40}-\frac{5x^{7}}{112}+\frac{35x^{9}}{1152}-\cdots$

5. 5

   寫出一般項。 把 $\binom{-1/2}{n}x^{2n}$ 積分得到 $\binom{-1/2}{n}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}$，而 $\binom{-1/2}{n}=(-1)^n\frac{(2n)!}{4^n (n!)^2}$，所以

   $\ln\!\left(\sqrt{x^2+1}+x\right)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}\,x^{2n+1}.$

   檢查前兩個係數：$n=0$ 給出 $x$，$n=1$ 給出 $-\frac{2}{4\cdot 1\cdot 3}x^3=-\frac{x^3}{6}$。✓

6. 6

   定出收斂區間，並做數值檢驗。 $(1+x^2)^{-1/2}$ 的二項級數需要 $|x^2|<1$，也就是 $|x|<1$；在 $x=\pm1$ 處，積分後的級數各項大小約為 $\sim n^{-3/2}$，絕對收斂，所以區間是 $[-1,1]$。在 $x=0.2$ 做數值檢查：印出的五項給出 $0.198690110\ldots$，而 $\operatorname{arsinh}(0.2)=0.198690110\ldots$ ✓