計算 (x + 3)/(x² − 5x + 6) 對 x 的積分。

Step-by-step solution

1. 1

   先把分母分解，好挑對方法。

   $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$

   兩個相異的一次因式，意味著被積函數可以拆成兩個分子為常數的簡單分式——不會碰上重根或不可約二次式那些麻煩。分子的次數（$1$）本來就低於分母的次數（$2$），所以不必先做長除法。

2. 2

   列出部分分式分解。

   $\frac{x + 3}{(x-2)(x-3)} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x-3}$

   兩邊同乘 $(x-2)(x-3)$，把分母清掉：

   $x + 3 = A(x - 3) + B(x - 2)$

3. 3

   代入根來求 A 和 B。 最快的走法是代入那些能一次幹掉一個括號的值。令 $x = 3$：

   $6 = B(3 - 2) \ \Longrightarrow \ B = 6$

   令 $x = 2$：

   $5 = A(2 - 3) \ \Longrightarrow \ A = -5$

   （改用待定係數法比對係數，得到的是同一組聯立方程式 $A + B = 1$、$-3A - 2B = 3$。）

4. 4

   積分之前先驗證這個分解。 取 $A = -5$、$B = 6$：

   $\frac{-5}{x-2} + \frac{6}{x-3} = \frac{-5(x-3) + 6(x-2)}{(x-2)(x-3)} = \frac{x + 3}{(x-2)(x-3)} \ \checkmark$

   這裡檢查只花一行，卻能在符號錯誤蔓延進積分之前就把它攔下來。

5. 5

   逐項積分。 每一項都是 $\int \frac{k}{x - a}\,dx = k\ln|x - a|$ 的形式：

   $\int \left(\frac{-5}{x-2} + \frac{6}{x-3}\right) dx = -5\ln|x - 2| + 6\ln|x - 3| + C$

   絕對值不能省：這個反導函數是在 $x < 2$、$2 < x < 3$、$x > 3$ 這三個區間上分別成立的。

6. 6

   最後求導回去檢驗。

   $\frac{d}{dx}\left(-5\ln|x-2| + 6\ln|x-3|\right) = \frac{-5}{x-2} + \frac{6}{x-3} = \frac{x+3}{x^2 - 5x + 6} \ \checkmark$

   在 $x = 5$ 處做數值抽查，兩種寫法都給出 $\frac{8}{6} = 1.3\overline{3}$。答案也可以合併寫成 $\ln\left|\frac{(x-3)^6}{(x-2)^5}\right| + C$。