求 ((x + 3)/(x − 1)) 的 (x + 3) 次方在 x 趨近無窮大時的極限。

Step-by-step solution

1. 1

   辨認形式。 底趨近 $1$（分子與分母都像 $x$ 一樣成長），而指數趨向 $\infty$。這就是不定型 $1^{\infty}$——不能靠把兩個極限分開代入來求值。

2. 2

   把底改寫成 1 加上一小塊。 把分母除出來：

   $\frac{x+3}{x-1}=\frac{(x-1)+4}{x-1}=1+\frac{4}{x-1}.$

   有了這個形式，才能跟標準極限 $\left(1+\tfrac1u\right)^{u}\to e$ 對得上。

3. 3

   代入 u = x − 1，讓樣式完全吻合。 當 $x\to\infty$ 時 $u\to\infty$，而指數 $x+3=u+4$：

   $\left(1+\frac{4}{u}\right)^{u+4}=\left[\left(1+\frac{4}{u}\right)^{u}\right]\cdot\left(1+\frac{4}{u}\right)^{4}.$

4. 4

   分別取這兩個極限。 中括號裡是 $a=4$ 的標準極限：

   $\left(1+\frac{4}{u}\right)^{u}\longrightarrow e^{4},$

   而後面那個因式 $\left(1+\tfrac4u\right)^{4}\to 1^{4}=1$。所以原本指數裡多出來的 $+3$ 對答案毫無影響——只有領頭的 $x$ 起作用。

5. 5

   合起來。

   $\lim_{x\to\infty}\left(\frac{x+3}{x-1}\right)^{x+3}=e^{4}\cdot 1=e^{4}\approx 54.598.$

6. 6

   用數值確認。 在 $x=10^{6}$ 時該式算出 $54.59859$，而 $e^{4}=54.59815$——吻合到四位有效數字，而且那個小小的差距如預期般以 $1/x$ 的速度縮小。