計算 1/(√x 乘上 √(x+1)) dx 的積分。

Step-by-step solution

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   找一個能一次清掉兩個根號的代換。 難處在於 $\sqrt{x}$ 與 $\sqrt{x+1}$ 同時出現。恆等式 $\cosh^{2}t-\sinh^{2}t=1$ 對付的正是這種搭配，所以令

   $x=\sinh^{2}t$

   於是 $\sqrt{x}=\sinh t$、$\sqrt{x+1}=\sqrt{\sinh^{2}t+1}=\cosh t$ ——兩個根號一舉都變成初等函數。

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   算出微分。 由連鎖律，

   $dx=2\sinh t\cosh t\,dt$

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   代入後，看著一切相消。

   $\int\frac{1}{\sinh t\cosh t}\cdot2\sinh t\cosh t\,dt=\int2\,dt=2t+C$

   整個被積函數塌縮成一個常數——這是代換選得好的最強訊號。

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   把代換還原。 由 $x=\sinh^{2}t$ 且 $t\ge0$ 得 $\sinh t=\sqrt{x}$，因此 $t=\operatorname{arsinh}\sqrt{x}$，於是

   $\int\frac{dx}{\sqrt{x}\sqrt{x+1}}=2\operatorname{arsinh}\sqrt{x}+C$

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   給出對數形式。 用 $\operatorname{arsinh}u=\ln\left(u+\sqrt{u^{2}+1}\right)$，取 $u=\sqrt{x}$：

   $2\operatorname{arsinh}\sqrt{x}=2\ln\!\left(\sqrt{x}+\sqrt{x+1}\right)$

   在 $x=0.3$、$1$ 與 $4$ 處，兩種形式吻合到 $10^{-13}$ ✓。對數版本通常比較受歡迎，因為它不需要用到反雙曲函數。

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   微分回去驗證。 $2\operatorname{arsinh}\sqrt{x}$ 的數值導數在 $x=0.3$、$1$ 與 $4$ 處與 $\dfrac{1}{\sqrt{x}\sqrt{x+1}}$ 的誤差都在 $10^{-5}$ 以內 ✓。用符號運算的話，把 $2\ln\left(\sqrt x+\sqrt{x+1}\right)$ 微分得到 $\dfrac{2}{\sqrt x+\sqrt{x+1}}\left(\dfrac{1}{2\sqrt x}+\dfrac{1}{2\sqrt{x+1}}\right)$，化簡後正是被積函數 ✓。定義域為 $x>0$。