已知 x 趨近 0 時，a 乘上 (2 + e^(1/x))/(1 + e^(1/x)) 再加上 (1 + |x|)^(1/x) 的極限存在，求 a 的值。

Step-by-step solution

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   先看出這個雙側極限麻煩在哪裡。 $e^{1/x}$ 與 $|x|$ 在 $0$ 的兩側行為都不一樣，所以極限存在的充要條件就是右極限等於左極限。分別算出兩側，再強迫它們相等。

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   右側：$x\to 0^{+}$。 此時 $\frac1x\to+\infty$，所以 $e^{1/x}\to+\infty$，而 $\frac{2+e^{1/x}}{1+e^{1/x}}\to 1$（分子分母同除以 $e^{1/x}$）。又因為 $|x|=x$，第二項是 $(1+x)^{1/x}\to e$。因此 $L_{+}=a+e$。

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   左側：$x\to 0^{-}$。 現在 $\frac1x\to-\infty$，所以 $e^{1/x}\to 0$，而 $\frac{2+e^{1/x}}{1+e^{1/x}}\to\frac{2}{1}=2.$ 又因為 $|x|=-x$，第二項是 $(1-x)^{1/x}$。令 $t=-x\to 0^{+}$ 得 $(1+t)^{-1/t}\to e^{-1}$。因此 $L_{-}=2a+\dfrac1e$。

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   令兩個單側極限相等。 $a+e=2a+\frac1e\ \Longrightarrow\ a=e-\frac1e.$

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   檢查共同的極限值。 取 $a=e-\tfrac1e\approx 2.35040$，右極限為 $a+e\approx 5.06868$，左極限為 $2a+\tfrac1e\approx 4.70081+0.36788\approx 5.06868$。兩者相符，所以極限確實只在這個 $a$ 之下存在，別無其他。