計算 (4 − y) 在由直線 x = 4、y = −2 與 x − y = 0 所圍區域 D 上的二重積分。

Step-by-step solution

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   先找出三個頂點。 把邊界直線兩兩相交：$x=4$ 與 $y=-2$ 交於 $(4,-2)$；$x=4$ 與 $y=x$ 交於 $(4,4)$；$y=-2$ 與 $y=x$ 交於 $(-2,-2)$。所以 $D$ 是頂點為 $(-2,-2)$、$(4,-2)$ 與 $(4,4)$ 的三角形。

2. 2

   選定積分順序。 沿鉛直方向掃描最簡單：對 $-2$ 到 $4$ 之間的每個 $x$，長條從下邊 $y=-2$ 往上到斜邊 $y=x$。於是得到 $\displaystyle\int_{-2}^{4}\!\!\int_{-2}^{x}(4-y)\,dy\,dx$。注意整段都有 $x\ge -2$，所以上限絕不會低於下限。

3. 3

   先算對 $y$ 的內層積分。 $\displaystyle\int_{-2}^{x}(4-y)\,dy=\left[4y-\frac{y^2}{2}\right]_{-2}^{x}=\left(4x-\frac{x^2}{2}\right)-\left(-8-2\right)=4x-\frac{x^2}{2}+10$。

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   再算對 $x$ 的外層積分。 $\displaystyle\int_{-2}^{4}\left(4x-\frac{x^2}{2}+10\right)dx=\left[2x^2-\frac{x^3}{6}+10x\right]_{-2}^{4}$。

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   在兩個端點代值。 在 $x=4$：$32-\frac{64}{6}+40=72-\frac{32}{3}=\frac{184}{3}$。在 $x=-2$：$8+\frac{8}{6}-20=-12+\frac43=-\frac{32}{3}$。相減得 $\frac{184}{3}+\frac{32}{3}=\frac{216}{3}=72$。

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   用重心的捷徑交叉驗證。 這個三角形的面積為 $\tfrac12\cdot 6\cdot 6=18$，重心的 $\bar y=\frac{-2-2+4}{3}=0$，所以 $\iint_D(4-y)\,dA=4\cdot 18-18\bar y=72-0=72$。用辛普森法對這個累次積分做數值計算也回傳 $72.0$。