求 sin²(x)·cos³(x) 對 x 的積分。

Step-by-step solution

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   先看誰是奇次方。 餘弦的次數 $3$ 是奇數。只要兩個三角因子中有一個的指數是奇數，這個因子就能拿出來充當代換用的微分，因此完全不需要遞迴公式。

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   拆出一個餘弦。 寫成 $\cos^3 x=\cos^2 x\cdot\cos x$，於是積分變為 $\int\sin^2 x\,\cos^2 x\,\cos x\,dx$。

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   把剩下的偶次部分換掉。 用畢氏恆等式 $\cos^2 x=1-\sin^2 x$，被積式成為 $\int\sin^2 x\left(1-\sin^2 x\right)\cos x\,dx$。現在整個式子都是 $\sin x$ 的函數再乘上 $\cos x\,dx$。

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   令 $u=\sin x$ 做代換。 則 $du=\cos x\,dx$，積分立刻退化成多項式 $\int u^2\left(1-u^2\right)du=\int\left(u^2-u^4\right)du$。

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   積分後代換回原變數。 $\frac{u^3}{3}-\frac{u^5}{5}+C=\frac{\sin^3 x}{3}-\frac{\sin^5 x}{5}+C$。

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   數值檢驗。 用這個反導函數在 $0$ 到 $1$ 之間求值得 $0.11423043$，對原被積函數在同一區間上用辛普森法則數值積分也得到 $0.11423043$——兩者一致。