解微分方程式 y″ + y = 0。

Step-by-step solution

1. 1

   代入指數型試解 $y=e^{rx}$。 此時 $y''=r^2e^{rx}$，方程式變成

   $r^2e^{rx}+e^{rx}=e^{rx}\left(r^2+1\right)=0$

2. 2

   讀出特徵方程式。 由於對所有實數 $x$ 都有 $e^{rx}\neq 0$：

   $r^2+1=0\quad\Longrightarrow\quad r^2=-1\quad\Longrightarrow\quad r=\pm i$

3. 3

   寫出實數通解。 在樣板 $e^{\alpha x}\left(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x\right)$ 中取 $\alpha=0$ 與 $\beta=1$：

   $y(x)=C_1\cos x+C_2\sin x$

   二階方程式恰好需要兩個任意常數——它們由兩個初始條件決定，例如 $y(0)$ 與 $y'(0)$。

4. 4

   驗證兩個基底解。 取 $y=\cos x$：$y''=-\cos x$，所以 $y''+y=0$ $\checkmark$。取 $y=\sin x$：$y''=-\sin x$，同樣是 $0$ $\checkmark$。

5. 5

   與 $y''+4y=0$ 對照。 那條方程式給出 $r=\pm 2i$，解由 $\cos 2x,\sin 2x$ 組成：$y$ 的係數是角頻率的平方，所以 $y''+\omega^2y=0$ 會以 $\omega$ 的角頻率振盪。這裡 $\omega=1$，週期是 $2\pi$。