求 ln(x + √(x² − a²)) 對 x 的導數。

Step-by-step solution

1. 1

   架好對數的連鎖律。 取 $u = x + \sqrt{x^2 - a^2}$，則 $y = \ln u$，所以 $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{u'}{u}$。現在整個問題就剩下算出 $u'$，並期待它與 $u$ 有共同因式 —— 對這個特定組合來說，確實有。

2. 2

   微分平方根。 由連鎖律，

   $\frac{d}{dx}\sqrt{x^2 - a^2} = \frac{2x}{2\sqrt{x^2 - a^2}} = \frac{x}{\sqrt{x^2 - a^2}}$

   所以 $u' = 1 + \dfrac{x}{\sqrt{x^2 - a^2}}$。

3. 3

   把分子通分到同一個分母上。

   $u' = \frac{\sqrt{x^2 - a^2} + x}{\sqrt{x^2 - a^2}}$

   分子現在字面上就是 $u$ —— 正是這個結構上的巧合讓答案如此乾淨。

4. 4

   相除並約分。

   $\frac{dy}{dx} = \frac{u'}{u} = \frac{x + \sqrt{x^2 - a^2}}{\sqrt{x^2 - a^2}} \cdot \frac{1}{x + \sqrt{x^2 - a^2}} = \frac{1}{\sqrt{x^2 - a^2}}$

5. 5

   認出這個函數與它的定義域。 因為 $\operatorname{arcosh}(x/a) = \ln\!\left(x + \sqrt{x^2 - a^2}\right) - \ln a$，這個式子就是差一個加法常數的反雙曲餘弦，所以它的導數會與 $\frac{d}{dx}\operatorname{arcosh}(x/a)$ 相同。它在 $x > |a|$ 時成立，此時根號內為正。可以對照 $\ln\!\left(x + \sqrt{x^2 + a^2}\right)$，其導數為 $1/\sqrt{x^2 + a^2}$（反雙曲正弦的情形），而且對所有實數 $x$ 都有定義。

6. 6

   數值檢查。 取 $a = 2$、$x = 3$。步長 $10^{-6}$ 的中央差分給出 $0.4472136$，而 $1/\sqrt{9-4} = 1/\sqrt5 = 0.4472136$。兩者吻合到小數點後七位。