計算 x³ × e^(−2x) 在 x 趨近無窮大時的極限。

Step-by-step solution

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   把 $\infty\cdot 0$ 轉成 $\infty/\infty$。 照原樣寫，這個極限是 $x^3\to\infty$ 與 $e^{-2x}\to 0$ 的乘積，沒有任何法則能直接處理這種形式。把指數搬到分母就解決了：

   $x^{3}e^{-2x}=\frac{x^{3}}{e^{2x}}$

   現在兩部分都趨向 $\infty$，而這是羅必達法則能處理的形式。

2. 2

   上下各微分一次。

   $\lim_{x\to\infty}\frac{x^{3}}{e^{2x}}=\lim_{x\to\infty}\frac{3x^{2}}{2e^{2x}}$

   每做一次，分子的次數就降一階，而分母只是乘上一個常數 $2$——指數函數從來不會變小。

3. 3

   再微分兩次。

   $\lim_{x\to\infty}\frac{3x^{2}}{2e^{2x}}=\lim_{x\to\infty}\frac{6x}{4e^{2x}}=\lim_{x\to\infty}\frac{6}{8e^{2x}}$

   在分子變成常數之前，每一步都還是 $\infty/\infty$；而它變成常數時，就是該停手的時候。

4. 4

   計算最後的式子。 分子現在固定為 $6$，而 $e^{2x}\to\infty$，所以

   $\frac{6}{8e^{2x}}\to 0\ \Longrightarrow\ \lim_{x\to\infty}x^{3}e^{-2x}=0$

5. 5

   看出背後的一般原理。 對任意 $n>0$ 與 $a>0$ 都有 $\displaystyle\lim_{x\to\infty}x^{n}e^{-ax}=0$：指數贏過每一個多項式。知道這件事，一眼就能省下那三次羅必達法則。數值上，$x^3e^{-2x}$ 在 $x=20$ 時是 $3.4\times 10^{-14}$，在 $x=50$ 時是 $4.7\times 10^{-39}$ ✓。