求 (4x² + 7x − 2)/(3x² + 8x + 2) 在 x 趨近 2 時的極限。

Step-by-step solution

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   動手之前先檢驗分母在目標點的值。 有理函數在分母不為零的地方處處連續，此時極限就是函數值。所以第一個問題是 $3x^2+8x+2$ 在 $x=2$ 是否為零。

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   計算分母。 $3(2)^2+8(2)+2 = 12+16+2 = 30 \neq 0.$ 因為它不為零，所以沒有不定型——不需要因式分解、有理化或羅必達法則。

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   計算分子。 $4(2)^2+7(2)-2 = 16+14-2 = 28.$

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   組成商。 $\lim_{x\to2}\frac{4x^2+7x-2}{3x^2+8x+2} = \frac{28}{30}.$

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   約分。 $28$ 與 $30$ 有公因數 $2$，所以 $\frac{28}{30} = \frac{14}{15} \approx 0.9\overline{3}.$ 由於 $14 = 2\cdot7$ 與 $15 = 3\cdot5$ 沒有公因數，這已經是最簡分數。

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   留意代入法會在哪裡失效。 分母的根是 $x = \tfrac{-8\pm\sqrt{64-24}}{6} = \tfrac{-4\pm\sqrt{10}}{3} \approx -0.2792$ 與 $-2.3874$。在那兩點求極限需要另外處理；在 $x=2$ 這個函數的表現非常良好。