設 f 在整個實數線上可微。證明 f 在整個實數線上連續。

Step-by-step solution

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   把敘述化簡到單一個點。 在 $\mathbb{R}$ 上連續，意思是在每個 $a\in\mathbb{R}$ 處都連續，所以只要固定一個任意的 $a$ 並證明

   $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$

   就夠了。等價地，$\displaystyle\lim_{x\to a}\big(f(x)-f(a)\big)=0$。

2. 2

   用上前提。 依假設 $f$ 在 $a$ 處可微，意思是極限

   $f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$

   存在且是有限數。手上可用的就只有這個存在性，所以整個證明必須設法用上它。

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   人為地把差商插進來。 對 $x\neq a$，下式是一個恆等式，做法是同乘同除 $x-a$：

   $f(x)-f(a)=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\cdot(x-a)$

   這就是整個技巧所在：它把一個未知的差，變成「極限已知的東西」乘上「明顯趨於 $0$ 的東西」。

4. 4

   用極限的乘積法則取極限。 兩個因子都有極限，所以乘積的極限就是極限的乘積：

   $\lim_{x\to a}\big(f(x)-f(a)\big)=\left(\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\right)\cdot\left(\lim_{x\to a}(x-a)\right)=f'(a)\cdot 0=0$

   $f'(a)$ 的有限性至關重要——若導數是無窮大，就會留下不定型 $\infty\cdot 0$。

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   作結。 因此 $\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$，也就是 $f$ 在 $a$ 處連續。由於 $a$ 是任意取的，

   $\boxed{f\text{ 連續於整個 }\mathbb{R}}$

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   注意逆命題不成立。 連續不蘊涵可微：$f(x)=|x|$ 在 $0$ 處連續，但差商 $\tfrac{|x|}{x}$ 從右側趨於 $+1$、從左側趨於 $-1$，所以 $f'(0)$ 不存在。Weierstrass 函數處處連續卻處處不可微，說明這個落差並不是什麼細微的例外。