設 h(x) = (2x + 1)⁵(x² − 1)³，下列哪一個式子等於 h′(x)？

Step-by-step solution

1. 1

   先認出最外層是乘積。 $h$ 是 $u\cdot v$，其中

   $u=(2x+1)^{5},\qquad v=\left(x^{2}-1\right)^{3},$

   所以要用乘法律：$h'=u'v+uv'$。選項 (C) 與 (D) 只有一項，因此一開始就錯了 —— 它們是把兩個導數相乘，而不是套乘法律。

2. 2

   用連鎖律對 u 微分。 把指數拉下來、次數減一，再乘上內層的導數：

   $u'=5(2x+1)^{4}\cdot\frac{d}{dx}(2x+1)=5(2x+1)^{4}\cdot 2=10(2x+1)^{4}.$

   因子 $2$ 正是選項 (B) 與選項 (A) 的差別所在。

3. 3

   用連鎖律對 v 微分。

   $v'=3\left(x^{2}-1\right)^{2}\cdot\frac{d}{dx}\left(x^{2}-1\right)=3\left(x^{2}-1\right)^{2}\cdot 2x=6x\left(x^{2}-1\right)^{2}.$

4. 4

   組回乘法律。

   $h'(x)=10(2x+1)^{4}\left(x^{2}-1\right)^{3}+6x(2x+1)^{5}\left(x^{2}-1\right)^{2},$

   這恰好就是選項 (B)。

5. 5

   看清 (A) 為什麼是最誘人的錯誤選項。 選項 (A) 是把兩個內導數都忘掉才會得到的結果 —— 它用了 $5$ 和 $3$，而不是 $10$ 和 $6x$。只要括號裡面比 $x$ 複雜，那個內導數就一定要出現。

6. 6

   用符號運算驗算。 把原式微分後減去選項 (B)，化簡結果恰為 $0$，確認選擇無誤。另外還可以把公因式 $(2x+1)^4(x^2-1)^2$ 提出來，得到 $h'(x)=(2x+1)^4(x^2-1)^2\left[10(x^2-1)+6x(2x+1)\right]=(2x+1)^4(x^2-1)^2\left(22x^2+6x-10\right)$。