對函數 f(x, y) = x^2 y + x e^(-xy)，求其梯度以及沿向量 (0, -1) 方向的方向導數。

Step-by-step solution

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   先回憶公式並檢查方向向量。 對單位向量 $\mathbf v$，方向導數就是內積 $D_{\mathbf v}f=\nabla f\cdot \mathbf v$。這裡 $\|(0,-1)\|=\sqrt{0^2+(-1)^2}=1$，所以 $\mathbf v$ 本來就是單位向量，不必再正規化。若它不是單位向量，就得先除以它的長度。

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   對 $x$ 偏微分。 項 $x^2y$ 給出 $2xy$。項 $xe^{-xy}$ 需要乘積律搭配連鎖律，因為 $\partial_x e^{-xy}=-y e^{-xy}$：

   $\frac{\partial}{\partial x}\left(xe^{-xy}\right)=e^{-xy}-xy\,e^{-xy}.$

   所以

   $f_x=2xy+(1-xy)e^{-xy}.$

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   對 $y$ 偏微分。 這時 $x$ 是常數，所以 $x^2y$ 給出 $x^2$，而 $\partial_y e^{-xy}=-x e^{-xy}$ 使第二項成為 $-x^2 e^{-xy}$：

   $f_y=x^{2}-x^{2}e^{-xy}=x^{2}\left(1-e^{-xy}\right).$

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   把梯度組起來。

   $\nabla f(x,y)=\begin{pmatrix}2xy+(1-xy)e^{-xy}\\[2pt] x^{2}\left(1-e^{-xy}\right)\end{pmatrix}.$

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   與方向向量做內積。 因為 $\mathbf v=(0,-1)$ 把第一個分量消掉，只有對 $y$ 的偏導數留下來，而且要變號：

   $D_{\mathbf v}f=\nabla f\cdot(0,-1)=-f_y=-x^{2}\left(1-e^{-xy}\right)=x^{2}\left(e^{-xy}-1\right).$

   這也正是幾何上的意思：往 $-y$ 方向走就是沿 $y$ 反向走，所以變化率是 $f_y$ 的相反數。

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   用數值抽查。 在 $(x,y)=(1.3,0.7)$ 用中央差分得 $f_x\approx 1.856227$、$f_y\approx 1.009734$，與公式相符，而 $D_{\mathbf v}f\approx-1.009734$。在 $(-2,1.5)$ 公式給出 $D_{\mathbf v}f\approx 76.342$，同樣與數值導數相符。