某立體的底是第一象限中由 x 軸、y 軸、曲線 y = e 的 x 次方與鉛直線 x = 3 所圍成的區域。每個垂直於 x 軸的截面都是正方形。求該立體的體積。

Step-by-step solution

1. 1

   一次讀一片垂直切片來看底面。 用截面求體積的題目從來不需要整個立體的形狀，只需要一片的大小。固定 $0$ 到 $3$ 之間的某個 $x$，把底面垂直切一刀。底面的下緣是 $x$ 軸（$y=0$）、上緣是曲線 $y=e^{x}$，所以這一片的長度是

   $L(x)=e^{x}-0=e^{x}.$

   $y$ 軸與直線 $x=3$ 只是告訴我們從哪裡開始切、切到哪裡為止：$0\le x\le 3$。

2. 2

   把切片長度換成截面積。 立在那片切片上的截面是正方形，而那片切片正好是它完整的一邊。所以邊長 $s=e^{x}$，截面積為

   $A(x)=s^{2}=\left(e^{x}\right)^{2}=e^{2x}.$

   正是 $(e^{x})^{2}=e^{2x}$ 這條規則讓這個積分變得初等，所以平方要在積分之前做，不是之後。

3. 3

   列出體積積分。 把面積 $A(x)$、厚度 $dx$ 的薄片從 $x=0$ 疊到 $x=3$，得

   $V=\int_{0}^{3}A(x)\,dx=\int_{0}^{3}e^{2x}\,dx.$

4. 4

   積分。 用代換 $u=2x$（或直接認出這個模式），$\int e^{2x}\,dx=\tfrac12 e^{2x}$，因為微分 $\tfrac12 e^{2x}$ 會把因子 $2$ 補回來：

   $V=\left[\frac{1}{2}e^{2x}\right]_{0}^{3}=\frac{1}{2}e^{6}-\frac{1}{2}e^{0}.$

5. 5

   求值並檢查合理性。 因為 $e^{0}=1$，

   $V=\frac{e^{6}-1}{2}\approx 201.214.$

   快速檢查：最大的截面（在 $x=3$）面積是 $e^{6}\approx 403.4$、最小的（在 $x=0$）是 $1$，所以在長度 $3$ 上得到約 $201$ 的體積，量級是對的 —— 面積成長得太快，幾乎全部體積都集中在 $x=3$ 附近。對 $e^{2x}$ 在 $[0,3]$ 上做數值積分得到 $201.21440$，與精確值吻合。