求 f(x) = 2e³ˣ 的導數。

Step-by-step solution

1. 1

   先分清三個組成部分。 這個函數是常數 $2$ 乘上合成函數 $e^{3x}$，其外層函數為 $e^{u}$、內層函數為 $u=3x$。常數在微分時可以直接提到前面，所以真正要處理的是合成的那一塊。

2. 2

   先對外層的指數函數微分。 指數函數的導數就是它自己：

   $\frac{d}{du}e^{u}=e^{u}$

   所以不會冒出新的函數 —— 只有連鎖律帶來的因子才會改變答案。

3. 3

   對內層函數微分，再套連鎖律。

   $\frac{d}{dx}(3x)=3\ \Longrightarrow\ \frac{d}{dx}e^{3x}=3e^{3x}$

   漏掉這個因子 3 —— 把 $e^{3x}$ 當成自己的導數 —— 是處理指數函數時最常犯的錯。

4. 4

   再乘上常數。

   $\frac{d}{dx}\left(2e^{3x}\right)=2\cdot 3e^{3x}=6e^{3x}$

5. 5

   推廣並驗算。 同樣的推理可得 $\dfrac{d}{dx}\left(Ce^{kx}\right)=kCe^{kx}$，其中 $C,k$ 為任意常數：指數的形狀不變，只有係數會變。在 $x=0.4$ 處用中央差分法算得 $19.9207$，而 $6e^{1.2}=19.9207$ ✓。