計算 β 從 0 到 π/2 的定積分，被積函數為 √(1 + tan²(0.8) sin²(β))。

Step-by-step solution

1. 1

   辨認出標準形式。 第二類完全橢圓積分為

   $E(m)=\int_{0}^{\pi/2}\sqrt{1-m\sin^{2}\theta}\;d\theta$

   把 $\sqrt{1-m\sin^{2}\beta}$ 與 $\sqrt{1+\tan^{2}(0.8)\sin^{2}\beta}$ 對照，需要 $-m=\tan^{2}(0.8)$，因此 $m=-\tan^{2}(0.8)$ ——參數是負的，這完全合法，只是表示被積函數會超過 $1$ 而不是落在它下方。

2. 2

   算出參數。

   $\tan(0.8)\approx1.02963856,\qquad\tan^{2}(0.8)\approx1.06015556$

   於是 $m\approx-1.06015556$，而 $I=E\left(-1.06015556\right)$。注意這個積分沒有初等的封閉形式——正因如此它才自成一格、擁有自己的名字。

3. 3

   改寫成正參數的形式（非必要，但更清楚）。 把常數提出來，

   $\sqrt{1+k^{2}\sin^{2}\beta}=\sqrt{1+k^{2}}\,\sqrt{1-\frac{k^{2}}{1+k^{2}}\cos^{2}\beta}$

   其中 $k^{2}=\tan^{2}(0.8)$，於是 $I=\sqrt{1+k^{2}}\;E\!\left(\tfrac{k^{2}}{1+k^{2}}\right)$，此時 $\tfrac{k^{2}}{1+k^{2}}\approx0.51460$ 落在 $[0,1]$ 內，而 $\sqrt{1+k^{2}}\approx1.435324$。

4. 4

   動手算之前，先把答案夾出來。 被積函數從 $\beta=0$ 處的 $1$ 一路升到 $\beta=\tfrac\pi2$ 處的 $\sqrt{1+k^{2}}\approx1.4353$。乘上區間長度 $\tfrac\pi2\approx1.5708$，可把積分夾在 $1.5708$ 與 $2.2546$ 之間——落在這個範圍外的答案一眼就知道有問題。

5. 5

   用數值方法求值。 三種互相獨立的方法——$4\times10^{6}$ 個節點的梯形法則、$200$ 節點的高斯–勒壤得求積法，以及把高斯–勒壤得法套用在上面那個正參數形式上——結果一致：

   $I\approx1.9280090$

   它穩穩落在前一步的夾擠範圍內 ✓。這裡要小心已發表的數值：另一個相近但錯誤的數字 $1.92274$ 在小數第三位就不同了，遠超出這三種方法彼此吻合的程度。