求 ln(100x^100 + 5x + 3) / ln(2x^20 + 3x² − 2) 在 x 趨近無窮大時的極限。

Step-by-step solution

1. 1

   辨認形式。 兩個對數都趨近 $+\infty$，所以這個商是 $\tfrac{\infty}{\infty}$ 型。羅必達法則行得通，但會生出一堆凌亂的有理函數；利用 $\ln$ 本身的結構乾淨得多。

2. 2

   把每個多項式換成它的最高次項。 當 $x\to\infty$ 時，

   $100x^{100}+5x+3\sim100x^{100},\qquad2x^{20}+3x^{2}-2\sim2x^{20}$

   在對數裡這樣代換是合法的，因為被丟掉的部分貢獻的是 $\ln\left(1+o(1)\right)\to0$，這是一個會消失的加法項——而不是乘法上的誤差。

3. 3

   用 $\ln(ab)=\ln a+\ln b$ 把每個對數拆開。

   $\ln\left(100x^{100}\right)=\ln100+100\ln x,\qquad\ln\left(2x^{20}\right)=\ln2+20\ln x$

   指數掉下來變成 $\ln x$ 的倍數——次數 $100$ 與 $20$ 就是在這裡接手的。

4. 4

   分子分母同除以 $\ln x$。 由於 $\ln x\to\infty$：

   $\lim_{x\to\infty}\frac{\frac{\ln100}{\ln x}+100}{\frac{\ln2}{\ln x}+20}=\frac{0+100}{0+20}=5$

   最高次項的係數 $100$ 與 $2$ 完全消失——在對數裡，一個常數倍只是一個加法常數，跟 $\ln x$ 相比微不足道。

5. 5

   寫出一般規則並驗證。 對次數分別為 $p$ 與 $q$ 的多項式，對數比值的極限就是 $\tfrac{p}{q}$——這裡是 $\tfrac{100}{20}=5$ ✓。數值上，該式在 $x=10$ 時為 $5.0244$，在 $x=100$ 時為 $5.0123$，在 $x=10^{10}$ 時為 $5.0025$，在 $x=10^{100}$ 時為 $5.00025$ ✓——收斂雖慢卻明確地趨向 $5$，而這種慢正是對數型極限的特徵。