用拉普拉斯轉換解初值問題 y'' − y = 4 delta(t − 2) + t 平方，且 y(0) = 0、y'(0) = 2，其中 delta 為狄拉克 delta 函數。

Step-by-step solution

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   因為有脈衝，所以選拉普拉斯轉換。 驅動項含 $\delta(t-2)$，它不是能用普通方法積分的函數；待定係數法與參數變異法都會失效。拉普拉斯轉換把脈衝變成普通的指數 $e^{-2s}$，於是整個問題變成代數。

2. 2

   兩邊同時轉換，並把初始條件併進去。 用 $\mathcal{L}\{y''\} = s^2Y(s) - sy(0) - y'(0)$ 搭配 $y(0)=0$、$y'(0)=2$，再用標準轉換 $\mathcal{L}\{\delta(t-a)\} = e^{-as}$ 與 $\mathcal{L}\{t^2\} = 2/s^3$：

   $s^2Y - 2 - Y = 4e^{-2s} + \frac{2}{s^3}$

3. 3

   解出 $Y(s)$。 把左邊的 $Y$ 提出來：

   $Y(s) = \frac{2}{s^2-1} + \frac{4e^{-2s}}{s^2-1} + \frac{2}{s^3(s^2-1)}$

   三塊可以分別反轉換 —— 這就是待在 $s$ 域裡工作的回報。

4. 4

   用部分分式拆開麻煩的第三項。 寫成 $\dfrac{1}{s^3(s^2-1)} = \dfrac{A}{s} + \dfrac{B}{s^2} + \dfrac{C}{s^3} + \dfrac{Ds+E}{s^2-1}$ 並比對係數，得 $A = -1$、$B = 0$、$C = -1$、$D = 1$、$E = 0$，所以

   $\frac{2}{s^3(s^2-1)} = -\frac{2}{s} - \frac{2}{s^3} + \frac{2s}{s^2-1}$

5. 5

   逐項反轉換。 用 $\mathcal{L}^{-1}\{1/(s^2-1)\} = \sinh t$、$\mathcal{L}^{-1}\{s/(s^2-1)\} = \cosh t$、$\mathcal{L}^{-1}\{2/s^3\} = t^2$，以及第二平移定理 $\mathcal{L}^{-1}\{e^{-as}F(s)\} = u(t-a)f(t-a)$：

   $y(t) = 2\sinh t + 2\cosh t - t^2 - 2 + 4u(t-2)\sinh(t-2)$

6. 6

   化簡並檢查。 因為 $2\sinh t + 2\cosh t = 2e^{t}$，

   $y(t) = 2e^{t} - t^2 - 2 + 4u(t-2)\sinh(t-2)$

   驗算：$y(0) = 2 - 0 - 2 = 0$、$y'(0) = 2 - 0 = 2$，兩者都對。當 $t<2$ 時單位步階項不作用，$y'' - y = (2e^t - 2) - (2e^t - t^2 - 2) = t^2$，符合要求。在 $t=2$ 處脈衝讓 $y'$ 恰好跳了 $4$，而 $y$ 本身保持連續 —— 這正是強度為 $4$ 的單位脈衝的物理特徵。