用圓盤／墊圈法求 y = x² 與 x = y² 所圍區域繞 y 軸旋轉所得立體的體積。

Step-by-step solution

1. 1

   先求交點。 把 $x=y^2$ 代入 $y=x^2$ 得 $y=y^{4}$，於是 $y(y^{3}-1)=0$，$y=0$ 或 $y=1$。兩曲線交於 $(0,0)$ 與 $(1,1)$，所以整個區域落在單位正方形內。

2. 2

   因為旋轉軸是 y 軸，所以要對 y 積分。 垂直於 $y$ 軸的墊圈是水平的，因此兩條邊界都必須寫成 $x$ 對 $y$ 的表示式：

   $y=x^{2}\ \Rightarrow\ x=\sqrt{y}\ \ (\text{右側／外半徑邊界}),\qquad x=y^{2}\ \ (\text{左側／內半徑邊界})$

   在 $0<y<1$ 上有 $\sqrt y>y^{2}$（例如取 $y=\tfrac14$：$0.5>0.0625$），這就確認了哪一條是外邊界。

3. 3

   列出墊圈法的積分式。 墊圈的半徑就是到 $y$ 軸的水平距離：

   $V=\pi\int_{0}^{1}\left[\left(\sqrt y\right)^{2}-\left(y^{2}\right)^{2}\right]dy=\pi\int_{0}^{1}\left(y-y^{4}\right)dy$

4. 4

   求值。

   $V=\pi\left[\frac{y^{2}}{2}-\frac{y^{5}}{5}\right]_{0}^{1}=\pi\left(\frac12-\frac15\right)=\pi\cdot\frac{3}{10}$

   $\boxed{V=\dfrac{3\pi}{10}\approx 0.942}$

5. 5

   用剝殼法交叉驗證。 繞 $y$ 軸的圓柱殼要對 $x$ 積分，半徑為 $x$、高為 $\sqrt x-x^{2}$：

   $V=2\pi\int_{0}^{1}x\left(\sqrt x-x^{2}\right)dx=2\pi\int_{0}^{1}\left(x^{3/2}-x^{3}\right)dx=2\pi\left(\frac25-\frac14\right)=2\pi\cdot\frac{3}{20}=\frac{3\pi}{10}$

   兩種互相獨立的方法給出同一個答案，這是對積分上下限與內外半徑選擇最強而有力的檢驗。