計算 arctan(x) 除以 cosh(x) 在 0 到無窮大之間對 x 的積分。

Step-by-step solution

1. 1

   動手之前先確認積分收斂。 當 $x\to\infty$ 時 $\arctan x\to\tfrac{\pi}{2}$，而 $\operatorname{sech}x\sim 2e^{-x}$，所以被積函數按指數衰減。在 $0$ 附近它的行為像 $x$。因此這個積分是有限的——而且不超過 $\tfrac{\pi}{2}\int_0^{\infty}\operatorname{sech}x\,dx=\tfrac{\pi^2}{4}\approx2.467$。

2. 2

   把 $1/\cosh x$ 展成交錯的指數級數。 當 $x>0$ 時，

   $\frac{1}{\cosh x}=\frac{2e^{-x}}{1+e^{-2x}}=2\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n e^{-(2n+1)x}$

   之所以行得通，是因為在整個範圍上都有 $e^{-2x}<1$，等比級數在積分涉及的每一處都收斂。

3. 3

   逐項積分。 交換求和與積分的次序，得到

   $I=2\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\int_0^{\infty}e^{-(2n+1)x}\arctan x\,dx$

4. 4

   對每個拉普拉斯型的分量做分部積分。 取 $u=\arctan x$、$dv=e^{-ax}dx$，邊界項在兩端都為零，剩下

   $\int_0^{\infty}e^{-ax}\arctan x\,dx=\frac{1}{a}\int_0^{\infty}\frac{e^{-ax}}{1+x^{2}}\,dx$

   於是

   $I=2\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1}\int_0^{\infty}\frac{e^{-(2n+1)x}}{1+x^{2}}\,dx$

5. 5

   承認它沒有初等的封閉形式。 裡面那個積分是餘弦積分與正弦積分的某種組合，並不是初等函數，所以上面的級數就是老老實實的精確答案。要得到小數值，只能靠數值方法。

6. 6

   用兩條獨立的路徑做數值計算。 在 $[0,80]$ 上分成七段做高斯–勒讓德求積，得到

   $I\approx 1.0986875$

   把上面的級數求到 $400$ 項得到 $1.0986859$，前六位一致 ✓。兩者都穩穩低於第 1 步給出的上界 $\pi^2/4=2.467$。（注意 $I$ 很接近但並不等於 $\ln 3=1.0986123$。）