求 f(t) = t · sin(3t) 的導數。

Step-by-step solution

1. 1

   認出這是乘積結構。 $f$ 是 $u = t$ 與 $v = \sin(3t)$ 的乘積，所以要用乘法律：

   $\frac{d}{dt}\left[uv\right] = u'v + uv'$

   兩個因式都沒辦法先化簡掉，所以沒有捷徑可繞。

2. 2

   微分比較簡單的那個因式。

   $u = t \quad\Longrightarrow\quad u' = 1$

3. 3

   用連鎖律微分合成的那個因式。 $\sin(3t)$ 是外層函數 $\sin$ 套在內層函數 $3t$ 上，而內層的導數是 $3$：

   $v = \sin(3t) \quad\Longrightarrow\quad v' = 3\cos(3t)$

   漏掉這個因子 $3$ 是這裡最常見的錯。

4. 4

   用乘法律組合起來。

   $f'(t) = (1)\sin(3t) + t\left(3\cos(3t)\right) = \sin(3t) + 3t\cos(3t)$

5. 5

   數值驗算。 在 $t = 0.7$：公式給出 $\sin(2.1) + 2.1\cos(2.1) = 0.863209 - 1.060177 = -0.196967$。步長 $10^{-6}$ 的 $f$ 中央差分在 $t = 0.7$ 也回傳 $-0.196967$ —— 吻合到小數點後六位。另外 $f'(0) = \sin 0 + 0 = 0$，這與「原點附近 $t\sin 3t \approx 3t^2$、因此該處有一個平坦的極小值」相符。