先指出 x 趨於 0 時 (e^x + x)^(1/x) 的極限屬於哪種未定型，再用羅必達法則求出它。

Step-by-step solution

1. 1

   先辨認未定型的類型。 當 $x\to 0$ 時，底數 $e^x + x \to 1$，而指數 $\tfrac{1}{x} \to \pm\infty$。所以這是 $1^{\infty}$ 型——它確實是未定型，因為一個略大於 $1$ 的底數被抬到極大的次方上，結果可以趨向任何值。它不是單純地等於 $1$。

2. 2

   取對數，把次方變成商。 記極限為 $L$，並令 $y = (e^x+x)^{1/x}$：

   $\ln y = \frac{\ln(e^{x}+x)}{x}$

   當 $x\to 0$ 時分子 $\to \ln 1 = 0$，分母也 $\to 0$，於是變成了 $\tfrac{0}{0}$ 型，羅必達法則可以上場了。

3. 3

   上下分別求導。 分子要用連鎖律：

   $\frac{d}{dx}\ln(e^x+x) = \frac{e^{x}+1}{e^{x}+x}, \qquad \frac{d}{dx}x = 1$

4. 4

   把新的商在 $x = 0$ 處求值。 它已經不再是未定型：

   $\lim_{x\to 0}\frac{e^{x}+1}{e^{x}+x} = \frac{1+1}{1+0} = \frac{2}{1} = 2$

   所以 $\ln L = 2$。

5. 5

   把對數還原回去。 最後這一步取指數最容易被忘掉，一忘就把答案寫成 $2$ 了：

   $L = e^{2} \approx 7.389056$

6. 6

   從兩側做數值驗證。 取 $x = 0.001$：$e^{0.001}+0.001 = 1.0020005$，而 $1.0020005^{1000} = 7.378$。取 $x = -0.001$：$e^{-0.001}-0.001 = 0.9980005$，而 $0.9980005^{-1000} = 7.400$。兩者把 $e^2 = 7.38906$ 夾在中間 ✓，符號計算得到的極限也正是 $e^2$。