對 h(x) = (2x + 1)⁵(x² − 1)³ 微分，並把結果因式分解。

Step-by-step solution

1. 1

   先架好乘法律。 這個函數是兩個合成冪次的乘積，所以令

   $u = (2x+1)^5, \qquad v = \left(x^2-1\right)^3, \qquad h' = u'v + uv'$

   若先把 $h$ 展開，會得到一個十一次多項式；用乘法律則能一路保持因式形式，最後的化簡才做得下去。

2. 2

   用連鎖律分別微分兩個因式。 外層導數乘上內層導數：

   $u' = 5(2x+1)^4 \cdot 2 = 10(2x+1)^4$

   $v' = 3\left(x^2-1\right)^2 \cdot 2x = 6x\left(x^2-1\right)^2$

   內導數 $2$ 與 $2x$ 正是連鎖律最容易失手的地方。

3. 3

   把兩項組起來。

   $h'(x) = 10(2x+1)^4\left(x^2-1\right)^3 + 6x(2x+1)^5\left(x^2-1\right)^2$

   每一項都只是把 $h$ 的其中一個因式降一次冪，所以必定有公因式存在。

4. 4

   提出各括號的最低次冪。 兩項都含有 $(2x+1)^4$ 與 $\left(x^2-1\right)^2$：

   $h'(x) = (2x+1)^4\left(x^2-1\right)^2\Big[10\left(x^2-1\right) + 6x(2x+1)\Big]$

5. 5

   化簡中括號，再提出數字因子。

   $10x^2 - 10 + 12x^2 + 6x = 22x^2 + 6x - 10 = 2\left(11x^2 + 3x - 5\right)$

   $h'(x) = 2(2x+1)^4\left(x^2-1\right)^2\left(11x^2+3x-5\right)$

   最後這個二次式的判別式為 $9 + 220 = 229$，不是完全平方數，所以在有理數範圍內無法再分解。

6. 6

   用數值驗算，並讀出臨界點。 在 $x = 0$ 用中央差分法得 $h'(0) \approx -10.000$，與 $2(1)(1)(-5) = -10$ 相符；在 $x = 0.3,\ 1.7,\ -2.1$ 做同樣的檢查也吻合到六位有效數字。$h'$ 的零點是 $x = -\tfrac12$、$x = \pm 1$（來自重複因式，同時也是 $h$ 的零點），以及 $x = \frac{-3 \pm \sqrt{229}}{22}$。