求 sinh x 除以 cosh 2x 的平方根在 x 趨近正無窮大時的極限。

Step-by-step solution

1. 1

   轉譯記號並看清形式。 $\operatorname{sh}x=\sinh x = \tfrac{e^x-e^{-x}}{2}$，而 $\operatorname{ch}(2x)=\cosh 2x = \tfrac{e^{2x}+e^{-2x}}{2}$。當 $x\to\infty$ 時兩者都會爆掉，所以這個商是 $\tfrac{\infty}{\infty}$——在比較過成長速度之前都還是不定型。

2. 2

   把主導的指數從分子提出來。 $\sinh x = \frac{e^x}{2}\left(1-e^{-2x}\right).$ 這樣就把成長的部分（$e^x$）跟一個趨近 $1$ 的括號分開了。

3. 3

   在根號底下做同樣的事。 $\cosh 2x = \frac{e^{2x}}{2}\left(1+e^{-4x}\right) \Longrightarrow \sqrt{\cosh 2x} = \frac{e^{x}}{\sqrt2}\sqrt{1+e^{-4x}}.$ 開平方根把指數減半，所以分母也像 $e^x$ 一樣成長——兩邊速率一致，這正是極限為有限且非零的原因。

4. 4

   約掉共同的因式。 $\frac{\sinh x}{\sqrt{\cosh 2x}} = \frac{\frac{e^x}{2}(1-e^{-2x})}{\frac{e^x}{\sqrt2}\sqrt{1+e^{-4x}}} = \frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{1-e^{-2x}}{\sqrt{1+e^{-4x}}}.$

5. 5

   取剩下那一塊的極限。 當 $x\to+\infty$ 時 $e^{-2x}\to0$ 且 $e^{-4x}\to0$，所以那個分數趨近 $\tfrac{1}{1}=1$，於是 $\lim_{x\to+\infty}\frac{\operatorname{sh}x}{\sqrt{\operatorname{ch}2x}} = \frac{\sqrt2}{2} = \frac{1}{\sqrt2} \approx 0.70711.$

6. 6

   用恆等式路線與一個數值檢查合理性。 由於 $\cosh 2x = 1+2\sinh^2 x$，當 $\sinh x\to\infty$ 時這個商 $\sinh x/\sqrt{1+2\sinh^2x} \to 1/\sqrt2$——同一個答案。在 $x=30$ 時直接算出的值是 $0.7071067812$。