求 f(x, y, z) = 3x⁴yz³ 的梯度沿直角座標單位向量 i、j、k 方向的分量。

Step-by-step solution

1. 1

   先弄清楚「沿 $\mathbf{i}$ 的分量」是什麼意思。 對單位向量 $\mathbf{u}$ 而言，$\nabla f$ 沿 $\mathbf{u}$ 的分量是 $\nabla f\cdot\mathbf{u}$，也就是方向導數 $D_{\mathbf{u}}f$。由於 $\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}$ 本身就是座標軸方向，這三個內積就單純是三個偏導數：

   $\nabla f=\frac{\partial f}{\partial x}\mathbf{i}+\frac{\partial f}{\partial y}\mathbf{j}+\frac{\partial f}{\partial z}\mathbf{k}.$

   所以根本不必真的去算內積——問題化簡成三個單變數的微分。

2. 2

   對 $x$ 微分，把 $y$ 與 $z$ 凍結。 這時因子 $3yz^{3}$ 是常數，只有 $x^{4}$ 要微分：

   $\frac{\partial f}{\partial x}=3yz^{3}\cdot 4x^{3}=12x^{3}yz^{3}.$

3. 3

   對 $y$ 微分。 現在 $3x^{4}z^{3}$ 是常數，而 $y$ 是一次方，導數為 $1$：

   $\frac{\partial f}{\partial y}=3x^{4}z^{3}.$

   注意 $y$ 完全消失了——這是個好用的合理性檢查，因為 $f$ 對 $y$ 本來就是線性的。

4. 4

   對 $z$ 微分。 固定 $3x^{4}y$，並對 $z^{3}$ 套用冪次法則：

   $\frac{\partial f}{\partial z}=3x^{4}y\cdot 3z^{2}=9x^{4}yz^{2}.$

5. 5

   組出梯度，並用一致性測試驗證。 把三個結果收攏，

   $\nabla f=\langle 12x^{3}yz^{3},\;3x^{4}z^{3},\;9x^{4}yz^{2}\rangle.$

   每個分量的總次數都是 $7$，恰好在被微分的那個變數上少了一次，這正是次數為 $8$ 的單項式應有的樣子。等價地說，$x f_x + y f_y + z f_z = (4+1+3)f = 8f$，也就是次數為 $8$ 的齊次函數的尤拉恆等式。