求 tanh(10⁻¹³x)/x 的馬克勞林級數，到 10 次項為止。

Step-by-step solution

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   從 $\tanh z$ 的標準展開出發。 雙曲正切是奇函數，所以它的馬克勞林級數只含奇次冪：

   $\tanh z=z-\frac{z^{3}}{3}+\frac{2z^{5}}{15}-\frac{17z^{7}}{315}+\frac{62z^{9}}{2835}-\frac{1382z^{11}}{155925}+\cdots$

   這些係數來自 $\tanh z=\sum_{n\ge1}\frac{2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}}{(2n)!}z^{2n-1}$，不過要答到十次為止，列出的這六項就已經夠用。

2. 2

   先決定要展到多遠，再代入。 除以 $x$ 會讓每一項的次數降一，所以奇次冪 $z^{2k+1}$ 會變成偶次冪 $x^{2k}$。因此要讓最終答案達到 $10$ 次，$\tanh z$ 必須展到 $z^{11}$——比第一眼看上去所需要的還多一項。這一步最常被做得不夠遠。

3. 3

   代入 $z=10^{-13}x$。 每個 $z^{m}$ 都貢獻一個因子 $10^{-13m}$：

   $\tanh(10^{-13}x)=10^{-13}x-\frac{10^{-39}}{3}x^{3}+\frac{2\cdot 10^{-65}}{15}x^{5}-\frac{17\cdot 10^{-91}}{315}x^{7}+\frac{62\cdot 10^{-117}}{2835}x^{9}-\frac{1382\cdot 10^{-143}}{155925}x^{11}+\cdots$

4. 4

   逐項除以 $x$。 每個指數都下降一，把奇次冪變成偶次冪：

   $\frac{\tanh(10^{-13}x)}{x}=10^{-13}-\frac{10^{-39}}{3}x^{2}+\frac{2\cdot 10^{-65}}{15}x^{4}-\frac{17\cdot 10^{-91}}{315}x^{6}+\frac{62\cdot 10^{-117}}{2835}x^{8}-\frac{1382\cdot 10^{-143}}{155925}x^{10}+\cdots$

   這個級數完全沒有奇次項，而 $x=0$ 處的可去奇異點由常數 $10^{-13}$ 補上。

5. 5

   看清楚這個極小參數的作用。 相鄰兩項大約以 $10^{-26}x^{2}$ 的比例逐次縮小，所以除非 $|x|$ 的量級來到 $10^{13}$，這個函數在數值上與常數 $10^{-13}$ 無從區分。這就是這個展開的實務意義：級數在 $|10^{-13}x|<\pi/2$ 時收斂，也就是 $|x|<1.5708\times 10^{13}$，而這正好是 $\tanh$ 最近的奇異點所在之處，位於 $z=i\pi/2$。