解微分方程式 dy/dx = 3 - 4y。

Step-by-step solution

1. 1

   辨認類型並找出平衡解。 右邊只依賴 $y$，所以這個方程式是可分離變數的（它同時也是一階線性的）。令 $3-4y=0$ 得到常數解 $y=\tfrac34$——導數為零的那個水平。其他每一個解都會朝它靠近或遠離，所以這個值應該會出現在最後的答案裡。

2. 2

   分離變數。 除以 $3-4y$（在 $y\neq\tfrac34$ 時合法）再乘上 $dx$：

   $\frac{dy}{3-4y}=dx$

3. 3

   用代換 $u = 3 - 4y$ 把兩邊積分。 此時 $du=-4\,dy$，所以 $dy=-\tfrac14\,du$：

   $\int\frac{dy}{3-4y}=-\frac14\int\frac{du}{u}=-\frac14\ln|u|+C$

   那個 $-\tfrac14$ 來自連鎖律，也是最常被漏掉的一步：

   $-\frac14\ln|3-4y|=x+C$

4. 4

   把對數解開。 乘上 $-4$ 再取指數：

   $\ln|3-4y|=-4x+C_1\qquad\Longrightarrow\qquad |3-4y|=e^{C_1}e^{-4x}$

   把 $3-4y$ 的正負號吸收進常數，就可以拿掉絕對值：$3-4y=Ae^{-4x}$，其中 $A$ 是任意非零實數。

5. 5

   解出 y 並把常數併在一起。

   $y=\frac{3-Ae^{-4x}}{4}=\frac34-\frac{A}{4}e^{-4x}=\frac34+Ce^{-4x}$

   把 $-\tfrac{A}{4}$ 改記為 $C$ 是合法的，因為 $A$ 本來就任意；而現在允許 $C=0$，正好把步驟 2 的除法所排除掉的平衡解 $y=\tfrac34$ 補了回來。

6. 6

   代回去驗證。 微分得 $y'=-4Ce^{-4x}$。另一方面 $3-4y=3-3-4Ce^{-4x}=-4Ce^{-4x}$——完全相同 ✓。數值上取 $C=2.3$，在 $x=0.1$ 處兩邊都等於 $-6.16694$，在 $x=-0.4$ 處兩邊都等於 $-45.5679$ ✓。

7. 7

   解讀這個行為。 由於 $x\to\infty$ 時 $e^{-4x}\to0$，每個解都會從它出發的那一側趨近 $y=\tfrac34$：這個平衡是穩定的，而這正是 $y$ 前面那個負係數 $-4$ 所預測的。