計算 x y^2 在 x 從 0 到 π、y 從 0 到 2 sin x 的區域上的二重積分。

Step-by-step solution

1. 1

   選擇積分順序 $dy\,dx$。 這個區域下方以 $y=0$ 為界、上方以曲線 $y=2\sin x$ 為界，而 $x$ 則跑遍固定區間 $[0,\pi]$。這樣的描述本來就是「$x$ 的上下限為常數、$y$ 的上下限為函數」的形式，所以先對 $y$ 積不需要任何額外工夫：

   $\int_{0}^{\pi}\!\!\int_{0}^{2\sin x}xy^{2}\,dy\,dx.$

   若把順序反過來，就得把 $y=2\sin x$ 反解，還要在 $x=\pi/2$ 把區域切開——麻煩得多。

2. 2

   把 $x$ 當常數，做內層積分。

   $\int_{0}^{2\sin x}xy^{2}\,dy=x\left[\frac{y^{3}}{3}\right]_{0}^{2\sin x}=\frac{x(2\sin x)^{3}}{3}=\frac{8}{3}x\sin^{3}x.$

   那個三次方讓外層積分變得棘手，所以下一步就來處理它。

3. 3

   用三倍角公式把 $\sin^{3}x$ 降成一次。 由 $\sin 3x=3\sin x-4\sin^{3}x$ 得 $\sin^{3}x=\dfrac{3\sin x-\sin 3x}{4}$。正弦的次方沒辦法直接對 $x$ 積分，但單一次的正弦可以用分部積分處理，所以：

   $\frac{8}{3}\int_{0}^{\pi}x\sin^{3}x\,dx=2\int_{0}^{\pi}x\sin x\,dx-\frac{2}{3}\int_{0}^{\pi}x\sin 3x\,dx.$

4. 4

   兩項都取 $u=x$ 做分部積分。 由 $\int x\sin x\,dx=-x\cos x+\sin x$：

   $\int_{0}^{\pi}x\sin x\,dx=\big[-x\cos x+\sin x\big]_{0}^{\pi}=\pi.$

   由 $\int x\sin 3x\,dx=-\dfrac{x\cos 3x}{3}+\dfrac{\sin 3x}{9}$：

   $\int_{0}^{\pi}x\sin 3x\,dx=\left[-\frac{x\cos 3x}{3}+\frac{\sin 3x}{9}\right]_{0}^{\pi}=\frac{\pi}{3},$

   這裡用到 $\cos 3\pi=-1$ 與 $\sin 3\pi=0$。

5. 5

   合併並檢查。

   $2(\pi)-\frac{2}{3}\cdot\frac{\pi}{3}=2\pi-\frac{2\pi}{9}=\frac{16\pi}{9}\approx 5.5851.$

   對 $\tfrac{8}{3}x\sin^{3}x$ 在 $[0,\pi]$ 上做數值積分得 $5.5850536$，與 $\tfrac{16\pi}{9}=5.5850536$ 相符。結果為正也是必然的：在 $R$ 上處處有 $x\ge0$ 且 $y^{2}\ge0$。