計算 x² · sin(x) 從 x = 0 到 x = π 的積分。

Step-by-step solution

1. 1

   挑 $u$ 的原則是讓多項式變小。 碰到多項式乘三角函數時，永遠讓 $u$ 當多項式：微分會降低它的次數，而 $\sin x$ 積分成 $-\cos x$ 也不會變大。取

   $u=x^{2},\quad dv=\sin x\,dx\ \Longrightarrow\ du=2x\,dx,\quad v=-\cos x$

   若反過來選，次數只會愈來愈高，永遠做不完。

2. 2

   先做一次分部積分。

   $\int x^{2}\sin x\,dx=-x^{2}\cos x+\int 2x\cos x\,dx$

   剩下的積分次數從 $2$ 降到 $1$，所以再做一次就能收尾。

3. 3

   對 $\int x\cos x\,dx$ 再做第二次。 這次取 $u=x$、$dv=\cos x\,dx$，所以 $du=dx$、$v=\sin x$：

   $\int x\cos x\,dx=x\sin x-\int\sin x\,dx=x\sin x+\cos x$

   因此 $\int 2x\cos x\,dx=2x\sin x+2\cos x$。

4. 4

   寫出完整的反導函數。

   $\int x^{2}\sin x\,dx=-x^{2}\cos x+2x\sin x+2\cos x+C$

   （次數 2 剛好需要兩次分部積分；次數為 $n$ 的多項式就需要 $n$ 次。）

5. 5

   代入上下限。 在 $x=\pi$ 時用 $\cos\pi=-1$、$\sin\pi=0$：

   $-\pi^{2}(-1)+0+2(-1)=\pi^{2}-2$

   在 $x=0$ 時用 $\cos 0=1$、$\sin 0=0$：

   $0+0+2=2$

6. 6

   相減並驗算。

   $\int_{0}^{\pi}x^{2}\sin x\,dx=\left(\pi^{2}-2\right)-2=\pi^{2}-4\approx 5.8696$

   用辛普森法做數值估計得到 $5.8696044011$，與 $\pi^{2}-4=5.8696044011$ 吻合 ✓。答案是正的，這也是必然的：在整個 $[0,\pi]$ 上都有 $\sin x\ge 0$。