求 (3n² − 4n + 9)/(n² + 32n + 48) − 根號 (n² + n + 18) 在 n 趨近無窮大時的極限。

Step-by-step solution

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   把式子拆開，分別研究每一部分。 這兩塊的行為完全不同，所以這裡根本沒有不定型要處理——訣竅是及早看出這一點，而不是伸手去拿羅必達法則或共軛技巧。

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   求有理項的極限。 分子分母同除以最高次方 $n^2$：$\frac{3n^2-4n+9}{n^2+32n+48} = \frac{3-\tfrac4n+\tfrac{9}{n^2}}{1+\tfrac{32}{n}+\tfrac{48}{n^2}} \longrightarrow \frac{3}{1} = 3.$ 上下次數相同，代表極限就是最高次項係數的比。

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   看出平方根的行為。 從根號底下把 $n^2$ 提出來：$\sqrt{n^2+n+18} = n\sqrt{1+\tfrac1n+\tfrac{18}{n^2}} \sim n \cdot 1 = n \to +\infty,$ 這裡用到 $n\to+\infty$ 時 $|n|=n$。更精確地說，它是 $n+\tfrac12+O(1/n)$。

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   把兩種行為合起來。 整個式子是（某個趨近 $3$ 的量）減去（某個趨近 $+\infty$ 的量）。有界量減去無界量在下方無界：$3-(+\infty) = -\infty.$ 這是確定型，不是不定型。

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   用數值確認。 在 $n=10^6$ 時有理項是 $2.99990$，根號值是 $1{,}000{,}000.5000$，所以兩者的差約為 $-999{,}997.5$——已經如預測般貼著 $-n$ 走。

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   寫下結論。 $\lim_{n\to\infty}\left(\frac{3n^2-4n+9}{n^2+32n+48}-\sqrt{n^2+n+18}\right) = -\infty,$ 而漸近上這個式子的行為像 $-n+2.5$。