對 y = x 的平方微分。

Step-by-step solution

1. 1

   準確寫下冪次法則。 對任意常數指數 $n$，

   $\frac{d}{dx}\left(x^n\right)=nx^{n-1}$

   有兩件事同時發生：舊的指數掉到前面當乘數，而指數本身減一。

2. 2

   辨認指數。 在 $y=x^2$ 裡 $n=2$。沒有係數要帶，也不需要連鎖律，因為底數就只是 $x$。

3. 3

   套用法則。

   $\frac{dy}{dx}=2x^{2-1}=2x^1=2x$

4. 4

   從定義確認，讓這條法則不只是一份食譜。 差商是

   $\frac{(x+h)^2-x^2}{h}=\frac{x^2+2xh+h^2-x^2}{h}=\frac{2xh+h^2}{h}=2x+h$

   令 $h\to 0$ 就得到 $2x$ —— 同樣的答案，而且沒有預設冪次法則。

5. 5

   從圖形讀出意義。 導數 $2x$ 就是拋物線的斜率：在 $x=3$ 處切線斜率為 $6$，在 $x=0$ 處是水平的（頂點），而當 $x<0$ 時斜率為負。所以離原點越遠，陡峭的程度就線性地增加。