證明每一個實數數列都有單調子數列。

Step-by-step solution

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   先定義對的概念：峰點。 若

   $a_n\ge a_m\quad\text{對每個 }m>n$

   就稱指標 $n$ 是這個數列的峰點；也就是說，後面的項從來不會超過 $a_n$。每個指標要嘛是峰點、要嘛不是，所以整個證明只分成兩種情形——這個二分法就是全部的想法。

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   情形一：峰點有無窮多個。 把它們列成 $n_1<n_2<n_3<\cdots$。由於 $n_k$ 是峰點而且 $n_{k+1}>n_k$，峰點的定義性質給出

   $a_{n_k}\ge a_{n_{k+1}}$

   對每個 $k$ 都成立，所以 $\{a_{n_k}\}$ 是非遞增的子數列。這種情形到此就完成了。

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   情形二：峰點只有有限多個。 取 $N$ 大於每一個峰點，於是沒有任何指標 $n\ge N$ 是峰點。依照「不是峰點」的定義，對每個這樣的 $n$，都存在某個 $m>n$ 使得

   $a_m>a_n$

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   遞迴地造出嚴格遞增的子數列。 令 $n_1=N$。由於 $n_1$ 不是峰點，可以選出 $n_2>n_1$ 使 $a_{n_2}>a_{n_1}$。由於 $n_2\ge N$ 同樣不是峰點，可以選出 $n_3>n_2$ 使 $a_{n_3}>a_{n_2}$，依此類推。這樣就得到一串指標 $n_1<n_2<n_3<\cdots$ 滿足

   $a_{n_1}<a_{n_2}<a_{n_3}<\cdots$

   也就是一個嚴格遞增的子數列。

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   作結。 兩種情形下都存在單調子數列，而這兩種情形已經窮盡所有可能，所以

   $\boxed{\text{每個實數數列都有單調子數列}}$

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   指出它的推論並檢查邊界情形。 配上「有界的單調數列必收斂」這件事，立刻就得到 Bolzano–Weierstrass 定理。對這個敘述做兩個合理性檢查：取 $a_n=(-1)^n$，峰點是所有偶數指標（有無窮多個），給出常數的、因而非遞增的子數列 $1,1,1,\ldots$；取 $a_n=n$ 則完全沒有峰點，情形二會造出遞增子數列 $1,2,3,\ldots$。注意定理斷言的是單調而不是收斂：無界數列有單調子數列，卻沒有收斂的子數列。