計算 sin(x)/sin²(4cos(x)) dx 的積分。

Step-by-step solution

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   先認出內層函數和它的導數。 麻煩的地方是合成式 $\sin^{2}(4\cos x)$，它的內層函數是 $4\cos x$。這個內層函數的導數是 $-4\sin x$，而分子裡本來就擺著一個 $\sin x$，所以代換 $u=4\cos x$ 可以把整個積分徹底化開。

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   把代換做出來。 由 $u=4\cos x$ 得 $du=-4\sin x\,dx$，於是 $\sin x\,dx=-\frac14\,du$，從而 $\int\frac{\sin x}{\sin^{2}(4\cos x)}\,dx=-\frac14\int\frac{du}{\sin^{2}u}=-\frac14\int\csc^{2}u\,du .$

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   套用餘割平方的標準反導函數。 因為 $\frac{d}{du}\cot u=-\csc^{2}u$，所以 $\int\csc^{2}u\,du=-\cot u+C$，於是 $-\frac14\int\csc^{2}u\,du=\frac14\cot u+C .$

4. 4

   代換回原來的變數。 把 $u=4\cos x$ 代回去，得到 $\int\frac{\sin x}{\sin^{2}(4\cos x)}\,dx=\frac14\cot(4\cos x)+C .$

5. 5

   求導驗證。 $\frac{d}{dx}\left[\frac14\cot(4\cos x)\right]=\frac14\left(-\csc^{2}(4\cos x)\right)\cdot(-4\sin x)=\frac{\sin x}{\sin^{2}(4\cos x)}$，正是原來的被積函數，所以在每一個使 $\sin(4\cos x)\ne 0$ 的區間上，這個反導函數都成立。