對常數 k 的每一種取值，求 x″ + kx = 0 的通解。

Step-by-step solution

1. 1

   寫出特徵方程式。 代入試探解 $x=e^{rt}$ 得 $x''=r^{2}e^{rt}$，所以

   $r^{2}e^{rt}+ke^{rt}=e^{rt}\left(r^{2}+k\right)=0$

   由於 $e^{rt}\neq0$，根滿足 $r^{2}=-k$。接下來一切都取決於 $k$ 的正負，因為那決定了 $-k$ 的平方根是實數還是虛數。

2. 2

   情形 $k>0$：純虛根，出現振盪。 此時 $-k<0$，所以 $r=\pm i\sqrt{k}$。實部為零的共軛純虛根對，轉換成正弦與餘弦：

   $x(t)=C_{1}\cos\!\left(\sqrt{k}\,t\right)+C_{2}\sin\!\left(\sqrt{k}\,t\right)$

   運動是有界且週期性的，週期為 $2\pi/\sqrt{k}$ ——這就是簡諧的情形。取 $k=2.5$ 做數值檢驗，殘差低於 $10^{-5}$ ✓。

3. 3

   情形 $k=0$：零處的重根。 方程式塌縮成 $x''=0$。積分兩次，

   $x'=C_{1}\quad\Longrightarrow\quad x(t)=C_{1}t+C_{2}$

   $r=0$ 這個重根貢獻兩個獨立解 $1$ 與 $t$ ——多出來的那個 $t$ 因子來自標準的重根規則，也正是答案為一條直線而非單一常數的原因。

4. 4

   情形 $k<0$：兩個實根，指數成長與衰減。 現在 $-k>0$，所以 $r=\pm\sqrt{-k}$ 是一對正負相反的實數：

   $x(t)=C_{1}e^{\sqrt{-k}\,t}+C_{2}e^{-\sqrt{-k}\,t}$

   除非 $C_{1}=0$，否則解是無界的，而且永遠不會振盪。取 $k=-2.5$ 做數值檢驗，殘差低於 $10^{-4}$ ✓。等價地也可寫成 $x=A\cosh(\sqrt{-k}\,t)+B\sinh(\sqrt{-k}\,t)$。

5. 5

   把三種情形匯整起來。

   $x(t)=\begin{cases}C_{1}\cos\!\left(\sqrt{k}\,t\right)+C_{2}\sin\!\left(\sqrt{k}\,t\right),&k>0\\ C_{1}t+C_{2},&k=0\\ C_{1}e^{\sqrt{-k}\,t}+C_{2}e^{-\sqrt{-k}\,t},&k<0\end{cases}$

   每一種情形都恰有兩個任意常數，這正是二階方程式應有的樣子。物理上 $k>0$ 對應回復力（彈簧），$k<0$ 則對應排斥力（倒立擺）。